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CORRESPONDANCE.

CORRESPONDANCE.

Lettre de M. Serres, professeur de mathématiques à
l’école de Sorèze,

Au Rédacteur des Annales ;

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Monsieur,

J’ai lu, avec intérêt, dans le numéro du mois d’août dernier de vos Annales, page 41 le mémoire de M. de Maizière, sur les limites des racines des équations ; et j’ai eu lieu, plus d’une fois, d’admirer la sagacité de son auteur. Mais j’ai été étrangement surpris, lorsque, tombant par hasard sur une équation particulière, $x^{3}-12x^{2}+44x-48=0,$ dont les racines sont 2, 4, 6, j’ai cependant trouvé, pour limite, en vertu de la 3.^e observation, qui m’a suggéré l’idée de mettre l’équation sous la forme $x(x^{2}-12x+44)-48=0.$ Le facteur trinôme étant essentiellement positif ; j’ai dû en conclure que je pouvais regarder les trois premiers termes comme positifs, et prendre pour limite $1+{\sqrt[{3}]{48}}<1+4=5.$ Cette conclusion ne pouvant s’accorder avec la racine 6, j’ai pensé qu’il devait y avoir quelque vice dans cette troisième observation ; et voici à quel résultat mes réflexions sur ce sujet m’ont conduit.

Il ne saurait être permis de dénaturer le 1.^er terme de l’équation, pour le grouper avec les deux suivans, à moins que toute l’équation ne puisse se décomposer en plusieurs groupes positifs, comme au n.^o 6 des observations. En effet, la démonstration générale, qui donne la limite $1+{\sqrt[{i}]{P_{k}}},$ porte essentiellement sur ce que le 1.^er terme seul $x^{m}$, en vertu de cette limite, est rendu plus grand que