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DES SPHÉROÏDES.

$\int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}=$

${\tfrac {(2m+1)(2m-1)\ldots 1}{(2m+2n+2l+3)(2m+2n+2l+1)\ldots (2n+2l+3)}}\int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}\,;$

or, par les formules connues, on trouve, entre les mêmes limites,

$\int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}={\frac {2.4.6\ldots (2n+2l)}{3.5.7\ldots (2n+2l+1)}}\,;$

partant

$(2)\ \int \operatorname {d} \theta .\operatorname {Sin} .\theta ^{2m+2}.\operatorname {Cos} .\theta ^{2n+2l+1}={\tfrac {\left[1.3.5\ldots (2m+1)\right]\left[2.4.6\ldots (2n+2l)\right]}{3.5.7\ldots (2m+2n+2l+3)}}.$

En doublant le produit des formules (1) et (2), et posant

$M={\frac {4\varpi }{3}}.kk'k''.$

l’on obtient enfin

$\mathrm {(B)} \ \int x^{2m}.y^{2n}.z^{2l}.\operatorname {d} M=$

${\tfrac {\left[1.3.5\ldots (2m-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2n-1)\right]\left[1.3.5\ldots (2l-1)\right]}{5.7.9\ldots (2m+2n+2l+3)}}Mk^{2m}.k'^{2n}.k''^{2l}.$

Ce beau théorème est dû à M. Lagrange.^[1]

4. Reprenons actuellement la valeur de $T$ donnée par la série (A), et remarquons qu’en conséquence du théorème renfermé dans la formule (B), la valeur de $V=\int T\operatorname {d} M$ sera exprimée par une suite de la forme

$V=M\left(Ak^{2m}.k'^{2n}.k''^{2l}+A'k^{2m'}.k'^{2n'}.k''^{2l'}+\ldots \right),$

où $A,A',\ldots$ représentent des fonctions rationnelles et entières de $a,b,c,{\frac {1}{r}}$. Or, il est démontré que ${\frac {V}{M}}$ doit toujours être une fonction des excentricités de l’ellipsoïde^[2], donc il doit nécessairement exister, entre les coefficiens $A,A',A''\ldots$ des rapports tels, qu’ils réduiront la valeur précédente de ${\frac {V}{M}}$ à cette forme :

1. Voyez les Mémoires de l’académie de Berlin, armées 1792 et 1793, page 262.
2. Voyez la Mécanique céleste.