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ATTRACTION

par la simple différentiation, les attractions parallèles aux axes.^[1]

Soient, pour plus de simplicité,

$T=\left[(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\,;\quad X=ax+by+cz$

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\,;\qquad R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

d’où

$T=\left[\left(r^{2}+R^{2}\right)-2X\right]^{-{\frac {1}{2}}}\,;$

ou, en développant la valeur de $T,$

$T=\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}+{\tfrac {1}{2}}\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.2X+{\tfrac {1.3}{2.4}}\left(r^{2}+R^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.2^{2}X^{2}+\ldots$

Maintenant, si l’on conçoit que l’on ait développé les radicaux qui entrent dans cette série, il est évident que l’on réduira la valeur de $T$ à une suite de termes de la forme $Ax^{m}.y^{n}.z^{l},$ dans lesquels $A$ sera une fonction rationnelle et entière de $a,b,c,{\frac {1}{r}}.$ Il suit de là que, pour former la série qui exprime la valeur de $V,$ il est nécessaire d’avoir une formule propre à donner la valeur de l’intégrale

$\int x^{m}.y^{n}.z^{l}.\mathrm {d} M,$

étendue à toute la masse de l’ellipsoïde. Or, il est clair qu’en plaçant l’origine des coordonnées au centre de l’ellipsoïde, l’on aura $\int x^{m}.y^{n}.z^{l}.\mathrm {d} M=0,$ toutes les fois que l’un des exposans $m,n,l$ sera impair, puisque les mêmes élémens s’y trouveront, avec des signes contraires. Donc, il faudra commencer par supprimer, dans la valeur précédente de $T,$ tous les termes multipliés par des puissances impaires de $X$ ; et il faudra ensuite, par la même raison, rejeter du développement des puissances paires de $X$ tous les termes non compris dans la forme $A.x^{2m}.y^{2n}.z^{2l}.$ En désignant par $X'^{2},X'^{4},X'^{6},\ldots$ ce que deviennent par là les valeurs de $X^{2},X^{4},X^{6},\ldots \,;$ on aura, dans le cas présent,

1. Voyez la Mécanique céleste, tome I, page 136 ; et tome II, page 13.