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SÉPARATION

$(114)\ \partial ^{n}u=u+{\tfrac {n}{1}}\left(\operatorname {Log} .\partial \right).u+{\tfrac {n^{2}}{1.2}}\left(\operatorname {Log} .\partial \right)^{2}.u+{\tfrac {n^{3}}{1.2.3}}\left(\operatorname {Log} .\partial \right)^{3}.u+\ldots ,$

et fait voir que l’analogie que M. Brisson a cru entrevoir entre on $\partial ^{n}u$ et $a^{n}u$ est complète ; puisque le développement de ces deux expressions est le même, et ne diffère qu’en ce que $a$ est un symbole de quantité et $\partial \,$ une caractéristique d’opération. Mais il y a cette différence, entre le développement (114) et celui de M. Brisson, que le premier procède suivant les puissances de $\operatorname {Log} .\partial$, et le sien suivant elles de $\operatorname {Log} .(1+\partial )$

Cet exemple fournit une nouvelle preuve des erreurs que peut faire commettre l’analogie entre les puissances et les différences, lorsqu’on ne détache pas les échelles.

33. M. Brisson a cru entrevoir aussi le germe d’un nouveau calcul, dans sa caractéristique $\lambda$, qui est notre $\partial _{1}.$ Feu mon frère était depuis long-temps en possession de la théorie de ce calcul, qu’il a étendue à des calculs de la même espèce, d’ordres supérieurs. Toute cette théorie repose sur l’équation aux échelles $\partial _{1}=\operatorname {Log} .(1+\partial ).$ La caractéristique $\partial _{1}$ est à la caractéristique $\partial \,$ ce que celle-ci est à $\Delta$ des différences finies ; car, de même qu’on a $\partial _{1}=\operatorname {Log} .(1+\partial ),$ on a aussi $\partial =\operatorname {Log} .(1+\Delta ).$ Ce nouveau calcul pourrait donc être appelé Calcul différentiel du second ordre ; il a évidemment son inverse, dont la caractéristique est ${\mathcal {f}}_{1}=\partial _{1}^{-1},$ de sorte qu’on a ${\mathcal {f}}_{1}=\left\{\operatorname {Log} .(1+\partial )\right\}^{-1}.$

Si l’on fait de même $\partial _{2}=\operatorname {Log} .(1+\partial _{1}),\ \partial _{3}=\operatorname {Log} .(1+\partial _{2}),\ldots ,$ on aura les bases d’autant de nouveaux calculs différentiels, des 3^me, 4^me,… ordres. Voici les relations de définition qui lient ces différens calculs entre eux.

${\begin{array}{lllll}\mathrm {E} =1+\Delta ,&\mathrm {E} _{1}=1+\partial ,&\mathrm {E} _{2}=1+\partial _{1},&\mathrm {E} _{3}=1+\partial _{2},&\ldots ,\\\mathrm {E} =e^{\partial },&\mathrm {E} _{1}=e^{\partial _{1}},&\mathrm {E} _{2}=e^{\partial _{2}},&\mathrm {E} _{3}=e^{\partial _{3}},&\ldots ,\\\Delta =e^{\partial }-1,&\mathrm {E} _{1}=e^{\partial _{1}}-1,&\mathrm {E} _{2}=e^{\partial _{2}}-1,&\mathrm {E} _{3}=e^{\partial _{3}}-1,&\ldots .\\\end{array}}$

Metz, le 7 de septembre 1811.