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DES ÉCHELLES.

$(109)\ \partial ^{n}u=\partial ^{n}\left(e^{x}\nu \right)$

$=e^{x}\left\{\nu +n\partial \nu +{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\partial ^{2}\nu +{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}\partial ^{3}\nu +\ldots \right\}\,;$

il ordonne cette série suivant les puissances de $n,$ en lui donnant la forme

$(110)\qquad \partial ^{n}u=e^{x}\left(\nu +{\frac {n}{1}}A+{\frac {n^{2}}{1.2}}B+{\frac {n^{3}}{1.2.3}}C+{\frac {n^{4}}{1.2.3.4}}D+\ldots \right),$

et il observe l’analogie qui existe entre les termes $A,B,C,\ldots$ et $\operatorname {Log} .(1+b),\left\{\operatorname {Log} .(1+b)\right\}^{2},\left\{\operatorname {Log} .(1+b)\right\}^{3},\ldots .$D’après cette analogie, il introduit la caractéristique $\lambda ,$ et représente $e^{x}A$ par $\lambda \left(e^{x}\nu \right)=\lambda (u),$ d’où il déduit

$(111)\qquad \partial ^{n}u=u+{\frac {n}{1}}\lambda (u)+{\frac {n^{2}}{1.2}}\lambda ^{2}(u)+{\frac {n^{3}}{1.2.3}}\lambda ^{3}(u)+\ldots$

Voyons, d’après la théorie des échelles détachées, ce que signifie cette caractéristique $\lambda ,$ et si l’expression (111) est exacte.

L’équation (109) peut être mise sous la forme

$(112)\qquad \partial ^{n}u=\partial ^{n}\left(e^{x}\nu \right)=e^{x}\left(1+\partial \right)^{n}.\nu =e^{x}.e^{n\operatorname {Log} .(1+\partial )}.\nu .$

En représentant $\operatorname {Log} .(1+\partial )$ par $\partial _{1}$, et développant cette dernière expression, on obtient

$(113)\ \partial ^{n}u=e^{x}.e^{n\partial _{1}}.\nu =e^{x}\left(\nu +{\frac {n}{1}}\partial _{1}\nu +{\frac {n^{2}}{1.2}}\partial _{1}^{2}\nu +{\tfrac {n^{3}}{1.2.3}}\partial _{1}^{3}\nu +\ldots \right).$

Notre $\partial _{1}$ est donc ce que M. Brisson a voulu représenter par $\lambda$ ; mais il se trompe certainement, en enveloppant $e^{x}$ sous le signe $\lambda .$ Pour avoir le développement de $\partial ^{n}u$ suivant les puissances de la caractéristique $\lambda$ ou $\partial _{1},$ il faut partir de son équation de définition $\partial _{1}=\operatorname {Log} .(1+\partial ),$ d’où l’on tire $\partial =e^{\partial _{1}}-1,$ et par conséquent $\partial ^{n}u=\left(e^{\partial _{1}}-1\right)^{n}u\,;$ ce qui est bien différent de l’expression (111), qui se réduit à $\partial ^{n}u=e^{n\partial _{1}}.u.$ La valeur de $\partial ^{n}u,$ que nous venons de trouver, ne donne plus le développement de cette quantité suivant les puissances de $n$ ; pour l’obtenir, il faut la mettre sous la forme $\partial ^{n}u=e^{n\operatorname {Log} .\partial }.u\,;$ ce qui donne