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DES ÉCHELLES.

Cette intégrale n’est que particulière, mais on la complétera aisément, en considérant que $\alpha _{1},$ est une des racines de l’équation

$(104)\qquad A+B\alpha +C\alpha ^{2}+\ldots N\alpha ^{n}=0,$

et que $\beta _{1},\gamma _{1},\delta _{1},\ldots$ se déduisent de $\alpha _{1},$ d’une manière simple et uniforme, par le calcul des dérivations ; d’où il est facile de conclure que, si $\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4},\ldots$ sont les autres racines de l’équation (104), on aura, pour chacune d’elles, une autre valeur de $\partial ^{1,},$ et une intégrale particulière correspondante. La somme de toutes ces intégrales particulières sera l’intégrale complète de la proposée, qu’au moyen des échelles détachées, on peut mettre sous la forme suivante :

$(105)\ \phi (x,y)=e^{\mathrm {D} .\partial ^{,1}}.\left\{e^{\alpha _{1}x}.{\mathcal {f}}_{1}y+e^{\alpha _{2}x}.{\mathcal {f}}_{2}y+e^{\alpha _{3}x}.{\mathcal {f}}_{3}y+\ldots +e^{\alpha _{n}x}.{\mathcal {f}}_{n}y\right\}.$

Remarquons qu’il n’est pas nécessaire de supposer, pour ce qui précède, la résolution générale des équations. Comme il ne s’agit ici que d’approximation, il suffit que les valeurs de $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \alpha _{n}$ soient exprimées en séries ; ce qui est toujours possible, soit par la méthode de M. Lagrange (Mémoires de Berlin, 1768), soit par le n.^o 285 du Calcul des dérivations.

Dans tous les cas semblables, quelle que soit la nature des échelles, la marche de la méthode est exactement la même, et n’a pas besoin de nouvelle explication.

29. Notre méthode d’intégration est donc générale, et applicable à tous les cas des équations linéaires, à coefficiens constans ; qu’elles soient aux différences ou aux différentielles, les unes et les autres totales ou partielles, séparées ou mêlées ; mais ce qu’elle a de particulier, c’est son uniformité constante, pour toutes ces espèces différentes d’équation ; uniformité qu’elle ne doit qu’à la séparation des échelles, dont elle est une des applications les plus intéressantes.

30. Les deux genres d’applications que je viens de présenter de la méthode de séparation des échelles, suffisent pour donner une idée de son importance, et de son utilité dans diverses branches de l’analise. Nous avons lieu d’espérer, d’après cela, qu’on nous