12. Si l’on suppose que l’équation (1) soit résolue et mise sous la forme , il est evident qu’on pourra lui appliquer les mêmes raisonnemens que nous avons faits sur l’équation (1), pourvu que l’échelle qui affecte l’un des membres soit équivalente à celle qui affecte l’autre. Il est encore évident qu’on ne changera pas la relation entre et en faisant, sur chacune de ces deux échelles identiques, des opérations équivalentes (sans cependant introduire de variables) et que ces échelles, en elles-mêmes, sont entièrement arbitraires. Mais, s’il arrive que, par suite des opérations indiquées par l’échelle, le second membre, qui est une fonction explicite de , disparaisse ; alors l’échelle du premier membre cesse d’être arbitraire, et elle détermine la forme de la fonction ou Il est évident que, dans ce cas, on ne peut plus faire, sur l’échelle qui affecte ou le premier membre, des opérations quelconques, mais seulement des transformations qui ne changent pas les relations entre les différentes parties de l’échelle, et qui n’y en introduisent point de nouvelles. Ainsi, si l’on a , on peut faire , tant que le second membre subsiste ; mais, si , il n’est plus permis de faire ; on a alors nécessairement ; et cette équation n’exprime plus, à proprement parler, qu’une relation entre les échelles ; de sorte qu’on a et non ; et cette relation détermine la forme de ou , ainsi que nous allons le voir.
L’équation
donne, en détachant les échelles, et par conséquent ou, d’après l’équation (14),
d’où l’on tire
multipliant cette dernière par , on a
