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SÉPARATION

$(33)\qquad \left\{{\begin{aligned}\xi \partial \phi x+\phi x\operatorname {Cos} .\alpha &=\\\left(\phi x+2\xi \partial \phi x\operatorname {Cos} .\alpha +\xi ^{2}\partial ^{2}\phi x\right)&\operatorname {Cos} .\alpha \\-\left(\xi \partial \phi x+2\xi ^{2}\partial ^{2}\phi x\operatorname {Cos} .\alpha +\xi ^{3}\partial ^{3}\phi x\right)&\operatorname {Cos} .2\alpha \\+\left(\xi ^{2}\partial ^{2}\phi x+2\xi ^{3}\partial ^{3}\phi x\operatorname {Cos} .\alpha +\xi ^{4}\partial ^{4}\phi x\right)&\operatorname {Cos} .3\alpha \\-\left(\xi ^{3}\partial ^{3}\phi x+2\xi ^{4}\partial ^{4}\phi x\operatorname {Cos} .\alpha +\xi ^{5}\partial ^{5}\phi x\right)&\operatorname {Cos} .4\alpha \\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \\\end{aligned}}\right.$

Soit $\phi x=\operatorname {Sin} .x,$ et qu’on égale séparément à zéro ce qui est affecté de $\operatorname {Sin} .x$ et de $\operatorname {Cos} .x,$ on aura les deux équations

${\begin{aligned}(34)\ \operatorname {Cos} .\alpha &=\left(1-\xi ^{2}\right)\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\xi ^{2}\operatorname {Cos} .3\alpha +\xi ^{4}\operatorname {Cos} .5\alpha -\xi ^{6}\operatorname {Cos} .7\alpha +\ldots \right)\\+&2\xi ^{2}\operatorname {Cos} .\alpha \left(\operatorname {Cos} .2\alpha -\xi ^{2}\operatorname {Cos} .4\alpha +\xi ^{4}\operatorname {Cos} .6\alpha -\xi ^{6}\operatorname {Cos} .8\alpha +\ldots \right)\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(35)\ 1&=2\operatorname {Cos} .\alpha \left(\operatorname {Cos} .\alpha -\xi ^{2}\operatorname {Cos} .3\alpha +\xi ^{4}\operatorname {Cos} .5\alpha -\xi ^{6}\operatorname {Cos} .7\alpha +\ldots \right)\\-&\left(1-\xi ^{2}\right)\left(\operatorname {Cos} .2\alpha -\xi ^{2}\operatorname {Cos} .4\alpha +\xi ^{4}\operatorname {Cos} .6\alpha -\xi ^{6}\operatorname {Cos} .8\alpha +\ldots \right)\\\end{aligned}}$

Si, dans ces équations, on fait $\xi =1,$ elles donnent

$(36)\qquad {\tfrac {1}{2}}=\operatorname {Cos} .2\alpha -\operatorname {Cos} .4\alpha +\operatorname {Cos} .6\alpha -\operatorname {Cos} .8\alpha +\ldots ,$

$(37)\qquad {\tfrac {1}{2}}Sec.\alpha =\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .3\alpha +\operatorname {Cos} .5\alpha -\operatorname {Cos} .7\alpha +\ldots .$

En mettant, dans l’équation (36), $\alpha$ à la place de $2\alpha ,$ elle devient

$(38)\qquad {\tfrac {1}{2}}=\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .2\alpha +\operatorname {Cos} .3\alpha -\operatorname {Cos} .4\alpha +\ldots ,$

Ces deux dernières équations, comparées aux équations (31) et (32), donnent lieu à des rapprochemens remarquables.

11. Les deux exemples que je viens de donner suffisent pour faire connaître l’esprit de la méthode, et les avantages qu’elle présente, pour parvenir, avec une singulière facilité, à des résultats qu’on n’obtiendrait souvent que d’une manière pénible par les voies ordinaires. Je vais indiquer maintenant une application d’une autre nature de la méthode de détacher les échelles. Elle faisait le sujet d’un mémoire sur l’Intégration des équations linéaires à coefficiens constans, que j’avais présenté à l’institut en l’an XI, mais, que j’ai fait retirer, parce qu’alors je n’étais pas encore en état de justifier la légitimité de la méthode, autrement que par l’exactitude de ses résultats.