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SYMÉTRIQUES.

$P_{n}=A_{n}+aA_{n-1}\,;\qquad$(1)

car, en prenant, au hasard, un produit de $n$ des lettres données, s’il renferme $a,$ il se trouvera dans $aA_{n-1},$ et ne s’y trouvera qu’une fois ; et, s’il ne renferme pas $a,$ il se trouvera dans $A_{n},$ et ne s’y trouvera également qu’une fois ; d’où l’on voit que $A_{n}+aA_{n-1}$ contient, et ne contient qu’une fois seulement, tous les produits $n$ à $n,$ et est conséquemment égal à $P_{n}.$

Je dis, en second lieu, qu’on doit avoir aussi, généralement,

$A_{n}+B_{n}+C_{n}+\ldots =(m-n)P_{n}\,;\qquad$(2)

en effet, si chacune des quantités $A_{n},B_{n},C_{n},\ldots$ était précisément la somme des produits des quantités $a,b,c,\ldots$ prises $n$ à $n,$ leur somme serait égale à $m$ fois la somme de ces produits, c’est-à-dire, à $mP_{n}$ ; mais, parce que ces produits ont $n$ facteurs, chacun d’eux doit manquer, à son tour, dans $n$ des quantités $A_{n},B_{n},C_{n},\ldots .$ La somme $A_{n}+B_{n}+C_{n}+\ldots$ doit donc renfermer $m$ fois la somme des produits $n$ à $n,$ moins $n$ fois cette somme, c’est-à-dire, qu’elle doit être égale à $m-n$ fois la somme de ces produits ou, ce qui revient au même, à $(m-n)P_{n}.$

Cela posé, soient premièrement écrites les équations que voici, lesquelles sont déduites de l’équation (1), et en nombre moindre que $m,$

${\begin{aligned}P_{1}&=A_{1}+a,\\P_{2}&=A_{2}+aA_{1},\\P_{3}&=A_{3}+aA_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\P_{n}&=A_{n}+aA_{n-1}\,;\\\end{aligned}}$

on en conclura facilement, en réduisant,

$a^{n}-P_{1}a^{n-1}+P_{2}a^{n-2}-P_{3}a^{n-3}+\ldots \pm P_{n}=\pm A_{n}\,;$

on aurait pareillement