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FORMULES

pourvu qu’on prenne successivement le signe $+$ et le signe $-$ dans le second membre.

En exposant $b=a,$ cette formule devient

$2a^{4m}(1-\operatorname {Cos} .z)=P\left\{2a^{2}\left[1\pm \operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right]\right\}\,;$

sortant de dessous le signe $P$ le facteur $2a^{2}$ qui deviendra au dehors $2^{2m}a^{4m},$ remarquant que $1-\operatorname {Cos} .z=2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z,$ et divisant par $4a^{2},$ il viendra

$\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{1\pm \operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\}\,;$

ou

$\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{1+\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\}\times P\left\{1-\operatorname {Cos} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\}\,;$

ou

$\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{1-\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\},$

ou

$\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}z=2^{2m-2}.P\left\{\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\},$

ou, en extrayant la racine quarrée

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}z=2^{m-1}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {2(o\ldots m-1)\varpi +z}{2m}}\right\},$

Faisant enfin $z=2x,$ il viendra

$\operatorname {Sin} .x=2^{m-1}.P\left\{\operatorname {Sin} .{\tfrac {(o\ldots m-1)\varpi +x}{m}}\right\}.$

En développant le second membre de cette équation, elle deviendra

$\operatorname {Sin} .x=2^{m-1}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {\varpi +x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {2\varpi +x}{m}}\ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-2)\varpi +x}{m}}.\operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-1)\varpi +x}{m}}.$

mais comme, en général, $\operatorname {Sin} .{\tfrac {(m-n)\varpi +x}{m}}=\operatorname {Sin} .{\tfrac {n\varpi -x}{m}},$ on pourra encore mettre la même équation sous cette autre forme