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QUESTIONS
formule, et sommant la série résultante, il viendra
![{\displaystyle E_{1}={\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4756f7e09099b2868ed3cd8191e336c5d6fa734d)
Quant à
il est clair qu’il sera égal à
multiplié par le
nombre des arrangemens dont
sont susceptibles ; et,
puisqu’en général le nombre de ces arrangemens est
on aura
![{\displaystyle G_{3}=1.2.3.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ead92a7e616125497766084b4b1c50113b157cc)
On pourrait facilement poursuivre de cette manière ; mais il est
déjà facile d’apercevoir, et il est aisé de se convaincre, par un
raisonnement rigoureux, qu’on doit avoir en général
![{\displaystyle E_{p}={\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}\ldots {\frac {m-n-p+2}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4b3ca2d0e0a421cb4d1fcfc0a9c775fd7cc4eb)
![{\displaystyle G_{p}=1.2.3.\ldots p.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}\ldots {\frac {m-n-p+2}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605ed2e129fb6432cf9c1baf6c0c044cb2a1baab)
Mais il est essentiel de remarquer que cette dernière formule n’est
exacte qu’autant que les nombres
sont tous inégaux ;
dans le cas où quelques-uns d’entre eux sont égaux, il arrive, en
effet, que le nombre des arrangemens dont ils sont susceptibles se
trouve diminué. Supposons donc que l’on ait
nombres égaux à
nombres égaux à
nombres égaux à
et ainsi de suite ;
ce qui donnera
![{\displaystyle \alpha '+\beta '+\gamma '+\ldots =p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94a5f1a26d71f0e08af2c157e47d14c66de999a)
la valeur de
deviendra alors[1]
![{\displaystyle G_{p}={\frac {1.2.3\ldots p}{1.2..\alpha '\times 1.2..\beta '\times 1.2..\gamma '\times \ldots }}.{\tfrac {m-n+1}{1}}.{\tfrac {m-n}{2}}\ldots {\tfrac {m-n-p+2}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfc15cdc6c259d3c9b412cec82a4789e6f11c5a)
En résumé, on voit qu’après avoir, décomposé la formule (A) en
parties, dont chacune exprime combien il y a de produits qui
répondent à une classe donnée, nous avons assigné le moyen de
décomposer chacune de ces parties en plusieurs autres, dont chacune
indique combien il existe, dans une classe déterminée, de produits
d’un même genre ; et qu’enfin la formule qui exprime ce dernier
- ↑ Voyez le tome II des Annales, page 204.