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QUESTIONS

formule, et sommant la série résultante, il viendra

$E_{1}={\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}.$

Quant à $G_{1},$ il est clair qu’il sera égal à $E_{3}$ multiplié par le nombre des arrangemens dont $\alpha ,\beta ,n-\alpha -\beta$ sont susceptibles ; et, puisqu’en général le nombre de ces arrangemens est $1.2.3,$ on aura

$G_{3}=1.2.3.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{1}}.$

On pourrait facilement poursuivre de cette manière ; mais il est déjà facile d’apercevoir, et il est aisé de se convaincre, par un raisonnement rigoureux, qu’on doit avoir en général

$E_{p}={\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}\ldots {\frac {m-n-p+2}{p}}.$

$G_{p}=1.2.3.\ldots p.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}\ldots {\frac {m-n-p+2}{p}}.$

Mais il est essentiel de remarquer que cette dernière formule n’est exacte qu’autant que les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont tous inégaux ; dans le cas où quelques-uns d’entre eux sont égaux, il arrive, en effet, que le nombre des arrangemens dont ils sont susceptibles se trouve diminué. Supposons donc que l’on ait $\alpha '$ nombres égaux à $\alpha ,$ $\beta '$ nombres égaux à $\beta ,$ $\gamma '$ nombres égaux à $\gamma ,$ et ainsi de suite ; ce qui donnera

$\alpha '+\beta '+\gamma '+\ldots =p\,;$

la valeur de $G_{p}$ deviendra alors^[1]

$G_{p}={\frac {1.2.3\ldots p}{1.2..\alpha '\times 1.2..\beta '\times 1.2..\gamma '\times \ldots }}.{\tfrac {m-n+1}{1}}.{\tfrac {m-n}{2}}\ldots {\tfrac {m-n-p+2}{p}}.$

En résumé, on voit qu’après avoir, décomposé la formule (A) en $n$ parties, dont chacune exprime combien il y a de produits qui répondent à une classe donnée, nous avons assigné le moyen de décomposer chacune de ces parties en plusieurs autres, dont chacune indique combien il existe, dans une classe déterminée, de produits d’un même genre ; et qu’enfin la formule qui exprime ce dernier

1. Voyez le tome II des Annales, page 204.