Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/227

219

RÉSOLUES.

$G_{1}={\frac {m-n+1}{1}},\qquad E_{1}={\frac {m-n+1}{1}}.$

Passons aux produits de la seconde classe ; considérons en particulier ceux de l’espèce $[\alpha ,n-\alpha ],$ et voyons d’abord combien il y a de ces produits qui renferment la lettre $a.$ Cette lettre, suivie des $\alpha -1$ qui lui succèdent dans l’ordre alphabétique, devant être combinée avec les produits de première classe que fournissent les $m-\alpha -1$ dernières lettres, prises $n-\alpha$ à $n-\alpha$ ; il faudra, pour avoir le nombre des produits de cette espèce, changer, dans $C_{1},G_{1}$ ou $E_{1},$ $m$ en $m-\alpha -1$ et $n$ en $n-\alpha ,$ ce qui donnera $m-n$ pour le nombre des produits de l’espèce $[\alpha ,n-\alpha ]$ qui renferment la lettre $a$ ; changeant successivement $m$ en $m-1,m-2,\ldots n+1$ et sommant la série, on trouvera

$E_{2}={\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.$

Pour passer de là au genre $G_{2},$ on remarquera qu’en général le nombre des produits de ce genre est égal au nombre des arrangemens différens dont $\alpha$ et $n-\alpha$ sont susceptibles ; c’est-à-dire, égal à $1.2$ : on aura donc

$G_{2}=1.2.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.$

Considérons ensuite les produits de la troisième classe, et voyons combien il s’en trouve, dans cette classe, de l’espèce $[\alpha ,\beta ,n-\alpha -\beta ]\,;$ ne considérons d’abord que ceux d’entre eux qui renferment la lettre $a$ ; cette lettre doit y être suivie des $\alpha -1$ lettres qui lui sont consécutives, dans l’ordre alphabétique, et cette première série doit être combinée, avec tous les produits de seconde classe et de l’espèce $[\beta ,n-\alpha -\beta ]\,;$ que peuvent fournir les $m-\alpha -1$ dernières lettres, prises $n-\alpha$ à $n-\alpha$ ; changeant donc, dans $E_{2},$ $m$ et $n$ en $m-\alpha -1$ et $n-\alpha ,$ on aura, pour le nombre des produits de cette espèce qui renferment la lettre $a,$

${\frac {m-n}{1}}.{\frac {m-n-1}{2}}\,;$

changeant successivement $m$ en $m-1,m-2,\ldots n+2,$ dans cette