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QUESTIONS

${\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}.\ldots {\tfrac {m-n+1}{n}}=C_{1}+C_{2}+C_{3}+\ldots +C_{p}+\ldots +C_{n}\,;$

mettant, dans cette équation, pour $C_{1},C_{2},C_{3},\ldots C_{p},\ldots C_{n}$ leurs valeurs, on parviendra à ce résultat qui, indépendamment de la théorie des combinaisons, présente un fait analitique assez remarquable

$\quad {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}.\ldots {\frac {m-n+1}{n}}$

$={\frac {m-n+1}{1}}$

$+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}$

$+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}$

$+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$+{\frac {n-1}{1}}.{\frac {n-2}{2}}\ldots {\frac {n-p+1}{p-1}}.{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\tfrac {m-n-1}{3}}\ldots {\tfrac {m-n-p+2}{p}}$

$+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$+{\frac {m-n+1}{1}}.{\frac {m-n}{2}}.{\frac {m-n-1}{3}}\ldots {\frac {m-2n+2}{n}}.$

Nous observerons, en passant, que le dernier terme du second membre de cette équation exprimant combien, parmi les produits $n$ à $n,$ il s’en trouve qui ne contiennent point de lettres consécutives, résout conséquemment la question énoncée à la page 60 de ce volume.

Examinons présentement combien il peut y avoir, dans chaque classe, de produits de chaque genre et de chaque espèce.

Convenons de désigner généralement par $G_{p}$ le nombre des produits d’un genre donné qui se trouvent dans la classe $p,$ et par $E_{p}$ le nombre de ceux d’une espèce donnée qui se trouvent dans un genre donné, appartenant à la même classe $p.$

Il est d’abord évident que tous les produits de la première classe sont, à la fois, de même genre et de même espèce, en sorte qu’on a