c’est-à-dire, que le plus haut degré auquel puisse s’élever l’équation finale résultant de l’élimination d’une inconnue, entre deux équations qui en renferment deux, est le produit des nombres qui expriment les degrés respectifs de ces équations.[1].
Si les équations ne sont pas complètes ; si, par exemple, elles sont de la forme
![{\displaystyle \left\{\left[y^{m'}+\ldots \right]x^{m}+\ldots \right\}=0,\qquad \left\{\left[y^{n'}+\ldots \right]x^{n}+\ldots \right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3e2f46a0bd584446e7ebf719e349bd59310b9a)
il faudra, avant d’exécuter la première division, multiplier le dividende par
![{\displaystyle \left[y^{n'}+\ldots \right]^{m-n+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0267b41411a797a1d4fd0732efb2237434281a3f)
en opérant ensuite comme dans le premier cas, ce multiplicateur se trouvera facteur du second reste, et les restes successifs seront de la forme
![{\displaystyle \left\{\left[y^{km'+(n'+k)(m-n+k)}+\ldots \right]x^{n-k}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f85bd1826ea548ca3ed4d81fb151c4dc9ae882)
on aura donc pour le dernier reste, qui ne doit pas contenir , ou ; d’où ; l’équation finale sera donc de la forme
et, puisque et sont les degrés respectifs des équations proposées, il en faut conclure que le degré de l’équation finale sera le produit des degrés des équations proposées diminué du produit des degrés des coefficiens de leurs premiers termes.[2]
- ↑ On peut voir, dans le mémoire cité, comment l’auteur étend cette théorie à un nombre quelconque d’équations
- ↑ Quelque excusable que pourrait être M. Bret de montrer de la prédilection pour des méthodes qu’il a si heureusement perfectionnées ; il est loin néanmoins de se faire illusion sur leur insuffisance, et il convient que l’élimination, de quelque manière d’ailleurs qu’on y procède, est une opération à peu près impraticable, dès que les équations sont nombreuses et élevées, à raison de la longueur et de
