Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/210

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

202

MAXIMA

Examinons, d’après cela, les différentes circonstances qui peuvent avoir lieu, dans ces deux séries de conditions.

5. Jusqu’à présent, on n’avait considéré les équations (4) que comme ayant lieu indépendamment les unes des autres, de manière que les valeurs des variables correspondant au maximum ou minimum étaient entièrement déterminées ; mais il s’en faut de beaucoup que cet état déterminé des variables soit nécessaire pour l’existence du maximum ou minimum ; nous allons voir, au contraire, qu’il peut avoir lieu, avec la plus grande indétermination possible entre les variables ; et nous examinerons comment le plus ou le moins d’indétermination entre elles influe sur les conditions (5).

6. Les équations (4) sont évidemment satisfaites par chacun des systèmes suivans

{\begin{aligned}\lambda &=0\,;\ B_{1}=l_{1}\lambda ,\ B_{2}=l_{2}\lambda ,\ B_{3}=l_{3}\lambda ,\ldots B_{n}=l_{n}\lambda \,;\qquad (6)\\\lambda &=0,\mu =0\,;B_{1}=l_{1}\lambda +m_{1}\mu ,B_{2}=l_{2}\lambda +m_{2}\mu ,\ldots B_{n}=l_{n}\lambda +m_{n}\mu \,;\ \textstyle (7)\\\lambda &=0,\mu =0,\varpi =0\,;B_{1}=l_{1}\lambda +m_{1}\mu +p_{1}\varpi ,B_{2}=l_{2}\lambda +m_{2}\mu +p_{2}\varpi ,\\&\qquad \qquad \qquad \ldots B_{n}=l_{n}\lambda +m_{n}\mu +p_{1}\varpi \,;\quad \textstyle (8)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}

où $\lambda ,\mu ,\varpi ,\ldots l_{1},m_{1},p_{1},\ldots l_{2},m_{2},p_{2},\ldots ,$ peuvent être des fonctions quelconques des variables qui entrent dans la fonction proposée.

Si l’on différentie les équations (6), pour en tirer les valeurs de $C_{1,1},C_{1,2},C_{1,3},\ldots C_{1,n},C_{2,2},C_{2,3},C_{2,4},\ldots C_{2,n},C_{3,3},\ldots C_{n,n},$ on trouve, entre ces quantités, les relations $\alpha _{2,2}=0,\alpha _{2,3}=0,\alpha _{2,4}=0,\ldots$ $\alpha _{2,n}=0,$ et par conséquent tous les $\beta ,\gamma ,\ldots \psi ,$ s’évanouissent aussi. L’équation (2) se réduit donc à son premier terme, et les conditions (5) à $C_{1,1}\gtrless 0.$ Les conditions du minimum ou maximum seront donc, dans ce cas,}}

\lambda =0,\qquad C_{1,1}\gtrless 0\,;\qquad (9)

et toutes les valeurs des variables satisfaisant à l’équation $\lambda =0,$ donnent un maximum ou un minimum, selon que $C_{1,1}$ est négatif ou positif.