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ET MINIMA.

${\begin{aligned}&+{\frac {1}{C_{1,1}\alpha _{2,2}\beta _{3,3}}}\left(\beta _{3,3}\xi _{3}+\beta _{3,4}\xi _{4}+\beta _{3,5}\xi _{5}+\ldots +\beta _{3,n}\xi _{n}\right)^{2}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {1}{C_{1,1}\alpha _{2,2}\beta _{3,3}\ldots \psi _{n-1,n-1}}}\left(\psi _{n-1,n-1}\xi _{n-1}+\psi _{n-1,n}\xi _{n}\right)^{2}\\&+{\frac {\alpha _{n,n}}{C_{1,1}\alpha _{2,2}\beta _{3,3}\ldots \psi _{n-1,n-1}}}\xi _{n}^{2}.\qquad (2)\\\end{aligned}}$

3. En faisant, pour abréger

$U=B_{1}\xi _{1}+B_{2}\xi _{2}+B_{2}\xi _{2}+\ldots B_{n}\xi _{n},$

les conditions, pour le minimum, se réduisent à

$U=0,\qquad V>o,$

et celles, pour le maximum, à

$U=0,\qquad V<0\,;$

le tout indépendamment des valeurs particulières que peuvent recevoir les accroissemens $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{n}.$ On conclut de là les deux séries de conditions suivantes :

$B_{1}=0,\qquad B_{2}=0,\qquad B_{3}=0,\ldots B_{n}=0,\qquad (4)$

$C_{1,1}\gtrless 0,\qquad \alpha _{2,2}>0,\qquad \beta _{3,3}>0,\qquad \omega _{n,n}>0\,;\qquad (5)$

le signe supérieur de $C_{1,1}$ ayant lieu pour le minimum, et le signe inférieur pour le maximum.

4. Les conditions (4) sont toujours nécessaires, pour l’existence du maximum ou minimum, et ne peuvent être remplacées par une autre série de conditions ; mais il n’en est pas de même des conditions (5), qui dépendent entièrement de la manière d’ordonner les accroissemens $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{n}.$ entre eux. $C_{1,1}$ peut être remplacé par $C_{2,2},C_{3,3},C_{n,n},\ldots$ et recevoir autant de valeurs différentes qu’il y a de variables ; $\alpha _{2,2}$ peut recevoir autant de valeurs différentes qu’on peut faire de combinaisons deux à deux entre les variables ; le nombre des valeurs différentes de $\beta _{3,3}$ est égal à celui de leurs combinaisons trois à trois ; et ainsi de suite.