Si l’on représente par la valeur totale des angles des faces d’un tel polyèdre, on aura
ainsi, il n’y a lieu ici à aucune exception quant à la valeur de la somme des angles des faces, lorsqu’on évalue cette somme en fonction du nombre des sommets.
« L’exception que je viens d’exposer » dit M. L’huilier « doit se présenter fréquemment dans la nature. Dans les agrégations mutuelles des corps, et en particulier dans les groupes de cristaux, à moins qu’il n’y ait une cause puissante qui les détermine à s’appliquer par des faces coïncidentes, il doit se rencontrer des cas où l’application se fait d’une manière propre à donner lieu à l’exception dont il s’agit. Aussi ai-je vu, dans la belle collection de minéraux que possède mon ami et collègue le professeur Pictet, l’un des inspecteurs généraux de l’université, différens groupes de cristaux, conformes à cette exception ; parmi lesquels j’ai remarqué des groupes de cristaux de spath calcaire, et des grès de la carrière de Montmartre. »
14. M. Lhuilier termine par observer que les trois sortes d’exceptions qu’il vient de considérer, et qui paraissent être les seules auxquelles le théorème d’Euler puisse être sujet, pouvant se trouver réunis dans un même polyèdre, et s’y trouver chacune indéfiniment ; il s’ensuit qu’il peut exister des polyèdres dans lesquels le nombre des faces augmenté du nombre des sommets surpasse le nombre des arêtes, ou soit surpassé par lui d’un nombre d’unités donné et quelconque.
Si représente le nombre des cavités intérieures d’un polyèdre ; que désigne le nombre des ouvertures qui y sont pratiquées, de
