du polyèdre qu’en deux points au plus ; mais tout plan satisfait à cette condition ; lorsque le polyèdre est convexe ; et l’on sait que le théorème, une fois démontré pour les polyèdres de cette nature, peut être facilement étendu à tous les autres.
Dans la seconde partie de son mémoire, M. Lhuilier, ainsi que je l’ai annoncé, s’occupe des diverses exceptions auxquelles le Théorème d’Euler est assujetti. Ces exceptions sont de trois sortes. Je vais les présenter successivement.
11. La première sorte d’exception a lieu lorsque le polyèdre renferme une cavité intérieure ; c’est-à-dire, lorsqu’il est compris entre deux surfaces isolées et entièrement renfermées l’une dans l’autre.
Soient alors, en effet, les nombres de faces, de sommets et d’arêtes de la surface extérieure ; soient les nombres analogues pour la surface intérieure ; on aura, par ce qui précède,
d’où
mais, en désignant par le nombre total des faces du polyèdre, par le nombre total de ses sommets, et par le nombre total de ses arêtes, on aura évidemment
on aura donc aussi
c’est-à-dire, que, dans un tel polyèdre, le nombre des faces, augmenté du nombre des sommets, surpasse de quatre unités le nombre des arêtes.
