comptée pour deux arêtes distinctes. En général, il faudra supposer, dans tout ce qui va suivre, que, si plusieurs sommets d’un polyèdre se trouvent situés sur une même ligne droite, et que cette ligne droite soit en même temps arête de tous les angles solides auxquels ces sommets appartiennent, elle devra être comptée pour autant d’arêtes distinctes que ces sommets, formeront de divisions.
3. Le tour de raisonnement qui vient d’être employé, pour démontrer la seconde proposition de M. Lhuilier, peut être appliqué à démontrer une proposition de géométrie plane dont on n’a encore donné nulle part jusqu’ici une démonstration complète. Cette proposition est que, dans tout polygone, plans et rectiligne, la somme des angles intérieurs vaut deux angles droits pris autant de fois moins deux que le polygone a de côtés. Les démonstrations qu’on en donne communément suppose que le polygone est convexe ou que du moins il existe quelque point, dans son intérieur, par lequel il est impossible de faire passer une droite qui rencontre son périmètre en plus de deux points. Voici comment on en peut obtenir une démonstration générale, et tout à fait indépendante de la nature du polygone.
Il faut d’abord démontrer que si, dans deux polygones, la somme des angles intérieurs vaut deux angles droits, pris autant de fois moins deux que ces polygones ont de côtés ; et, si ces polygones ont un côté égal par lequel ils puissent être réunis l’un à l’autre, de manière à ne plus former qu’un polygone unique, la somme des angles intérieurs de ce nouveau polygone sera encore égale à deux angles droits, pris autant de fois moins deux que ce polygone aura de côtés.
Soient, en effet, les deux polygones proposés ; soit le polygone résultant de leur assemblage ; soient respectivement les nombres de côtés de ces polygones ; soit l’angle droit et soient enfin respectivement les sommes d’angles intérieurs de trois polygones.
D’après l’hypothèse, on aura
