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THÉORIE

prescrites dans le mémoire cité^[1], on produira une d’équations dont les trois premières seront

${\begin{aligned}X&=X'q+X'',\\Y''^{2}X'&=X''q'+X''',\\Y'''^{2}X''&=X'''q''+X''''.\\\end{aligned}}$

Dans ces équations, $q,q'q''$ sont des quotiens fonctions entières en $x$ et $y\ ;\ Y''^{2}$ et $Y'''^{2}$ sont respectivement les quarrés des coefficiens en $y$ des premiers termes des polynômes $X''$ et $X'''.$

En vertu de la première équation, toutes les solutions ou couples de valeurs données par les équations $X=0,X'=0,$ sont aussi données par les équations plus simples $X'=0,X''=0.$

La seconde prouve que les solutions de $X'=0$ et $X''=0$ se composent des solutions de $X''=0$ et $X'''=0$, moins les solutions de $Y''^{2}=0$ et $X''=0.$

Enfin on voit, par la troisième, que pareillement les solutions de $X''=0$ et $X'''=0$ se composent des solutions de $X'''=0$ et $X''''=0,$ moins celles de $Y'''^{2}=0$ et $X'''=0.$

Dénotant donc en général par le symbole $[P,Q]$ la totalité des solutions que fourniraient les équations $P=0$ et $Q=0,$ nous aurons

${\begin{array}{rrl}&[X,X']=&[X',X''],\\&[X',X'']=&[X'',X''']-[Y''^{2},X''],\\&[X'',X''']=&[X''',X'''']-[Y'''^{2},X'''],\\\end{array}}$

d’où nous conclurons

$[X,X']=[X''',X'''']-[Y''^{2},X'']-[Y'''^{2},X'''].$

Avant de considérer un plus grand nombre d’équations, j’observe

1. Ces attentions consistent principalement à multiplier tout le dividende, chaque fois qu’on change de diviseur, et avant d’exécuter la division, par le quarré du coefficient da premier terme du diviseur. Par ce procédé, les deux termes du quotient se déterminent de suite, sans aucune difficulté. À la vérité cette préparation peut être superflue dans quelques cas particuliers ; mais, comme on a ensuite égard aux racines étrangères qu’elle introduit, elle est absolument sans inconvéniens.
   J. D. G.