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MAXIMA ET MINIMA.

Nous tirerons de tout cela les conclusions suivantes, savoir : 1.^o que les conditions que l’on donne ordinairement pour celles des maxima et minima des surfaces courbes sont incomplettes, et ne peuvent donner que des points isolés jouissant de cette propriété ; 2.^o que pour trouver une suite de maxima ou minima, liés entre eux par une courbe continue, il faut que $p$ et $q$ s’évanouissent, par un facteur commun ; 3.^o que $rt-s^{2}=0$ est alors la condition nécessaire pour l’existence d’une courbe maximum ou minimum ; 4.^o qu’enfin le cas que nous venons de considérer est un complément nécessaire à la théorie des maxima et minima des surfaces courbes^[1]

Il ne serait pas difficile d’étendre cette théorie aux fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables ; mais comme, pour chaque nouvelle variable, il y aurait une condition (2) de plus ; il faudrait appliquer à chacune de ces conditions des raisonnemens analogues à ceux que nous avons faits sur la condition (2). De plus, la condition (1) serait composée d’autant d’équations qu’il y aurait de variables indépendantes. Supposons que ces équations soient

p_{1}=0,\quad p_{2}=0,\quad p_{3}=0,\quad p_{4}=0,\ldots \qquad

(12)

↑ Il y a ici une distinction à établir. Si, suivant les notions admises jusqu’à présent, le caractère de l’ordonnée maximum on minimum est que les ordonnées environnantes soient toutes plus petites ou toutes plus grandes que celle-là, les ordonnées de la courbe considérée ici par M. Français ne seront point proprement des maxima ou minima ; mais si, comme il parait plus convenable de le faire, on exige seulement de l’ordonnée maximum ou minimum qu’aucune des ordonnées environnantes ne soit plus grande, ou qu’aucune de ces ordonnées ne soit plus petite qu’elle, alors les ordonnées des différens points de la courbe maximum ou minimum deviendront, en effet, de véritables maxima ou minima.
Au surplus, quelque parti qu’on prenne à cet égard, la discussion dans laquelle s’est engagé M. Français, n’en conservera pas moins tout son intérêt.

Il convient peut-être de rappeler ici que, si la condition $rt-s^{2}=0$ ne se trouvait remplie que parce qu’en vertu de l’équation $F=0,$ on aurait à la fois $r=0,s=0,t=0\,;$ on ne pourrait alors rien prononcer sans avoir soumis à la discussion les coefficiens différentiels des ordres ultérieurs.
J. D. G.

[1] Il y a ici une distinction à établir. Si, suivant les notions admises jusqu’à présent, le caractère de l’ordonnée maximum on minimum est que les ordonnées environnantes soient toutes plus petites ou toutes plus grandes que celle-là, les ordonnées de la courbe considérée ici par M. Français ne seront point proprement des maxima ou minima ; mais si, comme il parait plus convenable de le faire, on exige seulement de l’ordonnée maximum ou minimum qu’aucune des ordonnées environnantes ne soit plus grande, ou qu’aucune de ces ordonnées ne soit plus petite qu’elle, alors les ordonnées des différens points de la courbe maximum ou minimum deviendront, en effet, de véritables maxima ou minima.
Au surplus, quelque parti qu’on prenne à cet égard, la discussion dans laquelle s’est engagé M. Français, n’en conservera pas moins tout son intérêt.

Il convient peut-être de rappeler ici que, si la condition $rt-s^{2}=0$ ne se trouvait remplie que parce qu’en vertu de l’équation $F=0,$ on aurait à la fois $r=0,s=0,t=0\,;$ on ne pourrait alors rien prononcer sans avoir soumis à la discussion les coefficiens différentiels des ordres ultérieurs.
J. D. G.

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