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ET MINIMA.

faut ajouter que, si elles sont suffisantes, elles ne sont pas néanmoins toujours nécessaires ; et que la fonction (8) sera également de signe invariable, lorsqu’on aura simplement

$rt-s^{2}=0,$

puisqu’alors elle se trouvera être un quarré, pris en moins ou en plus, suivant que, sera négatif ou positif.

On doit pourtant remarquer que, dans ce cas, la fonction (8) peut devenir nulle, pour des valeurs particulières de $\alpha$ et $\beta$ ; et il est même aisé de voir qu’elle sera nulle, en effet, lorsque ces deux variations seront liées entre elles par la relation

$r\alpha +s\beta =0,\qquad$ (9)

équivalente alors à $s\alpha +t\beta =0.$ On pourrait donc croire, d’après cela, que, lorsque l’équation (6) a lieu, les conditions, soit du maximum soit du minimum, cessent d’être satisfaites ; mais il est aisé de se convaincre du contraire. Si, en effet, on élimine, entre les deux premières équations (5), il viendra

$r\left({\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} y}}\right)-s\left({\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}\right)=0\,;\qquad$(10)

équation qui, combinée avec l’équation (9), donnera

$\left({\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}\right)\alpha +\left({\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} y}}\right)\beta =0\,;\qquad$(11)

équation qui fait voir que $\alpha ,\beta$ sont les coordonnées de la tangente à la courbe maximum ou minimum, et que, dans ce cas, $z$ doit simplement se réduire à $\phi (a,b).$ La fonction (8), en vertu de la condition (6) reste donc constamment positive, dans le cas du minimum, et négative, dans le cas du maximum, pour tous les points qui ne sont pas situés sur la courbe minimum ou maximum. Les maxima ou minima peuvent donc exister, quoique la condition (2) n’ait pas lieu ; et la précédente analise prouve qu’il en est ainsi, en effet, pour une suite de maxima ou minima, formant une courbe continue.