Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/137

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.
133
ET MINIMA.

ce qui assujettit et à être de mêmes signes ; et alors le maximum ou le minimum a lieu, suivant qu’on a ou

Je me propose ici de faire voir que la condition (2) exige trop ; et que, pourvu que ne soit pas négatif, cette quantité peut être nulle, sans que le maximum ou le minimum cesse d’avoir lieu.

La règle en usage pour la détermination des maxima et minima ne se rapporte qu’à des points isolés : elle est en défaut, lorsqu’il s’agit de déterminer une suite de points maxima ou minima, formant une courbe continue. On se convaincra aisément de la vérité de ce que j’avance, par l’exemple suivant : si l’on fait tourner une ellipse autour d’une droite parallèle au grand axe, considérée comme axe des le sommet de l’ellipse décrira un cercle dont les coordonnées parallèles à l’axe des seront évidemment des maxima ; cependant on trouve, pour ce cas (comme pour tous les cas semblables) Je vais expliquer la raison de cette singularité, et compléter ainsi les conditions qui doivent indiquer l’existence des maxima et minima.

La première condition pour l’existence d’un maximum ou d’un minimum est d’avoir à la fois  ; ces deux équations déterminent les coordonnées correspondant au maximum ou au minimum cherché, lorsqu’il ne s’agit que d’un ou de plusieurs points isolés. Mais, lorsqu’il doit y avoir une infinité de maxima ou minima, formant une courbe continue, les deux équations doivent être de nature à être satisfaites en même temps, sans quoi il n’y aurait plus qu’un nombre limité de solutions ; il faut donc que ces deux équations aient lieu, par un facteur qui leur soit commun ; ainsi, on devra avoir

(3)

étant le facteur commun qui, égalé à zéro, remplira à la fois les deux conditions (1) ; et pouvant être des fonctions quelconques de et

L’équation qui déterminera les maxima et minima sera donc