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NUMÉRIQUES.

6. Il a été prouvé, dans le même ouvrage que

${\frac {\operatorname {Sin} .m\varpi }{\operatorname {Sin} .n\varpi }}={\frac {(+m)^{n-m|+1}}{(-m)^{n-m|-1}}}={\frac {(-n)^{m-n|-1}}{(+n)^{m-n|+1}}},$

faisant $n={\tfrac {1}{2}},$ et faisant ensuite successivement $m=h$ et $m={\tfrac {1}{2}}-h,$ il viendra

$\operatorname {Sin} .h\varpi ={\frac {(+h)^{{\tfrac {1}{2}}-h|+1}}{(-h)^{{\tfrac {1}{2}}-h|-1}}}={\frac {4h(1-h)(0,5)!(0,5)!}{h!(1-h)!}}\,;$

$\operatorname {Cos} .h\varpi ={\frac {({\tfrac {1}{2}}-h)^{h|+1}}{(-{\tfrac {1}{2}}+h)^{h|-1}}}={\frac {4h({\tfrac {1}{2}}-h)({\tfrac {1}{2}}+h)(0,5)!(0,5)!}{({\tfrac {1}{2}}-h)!({\tfrac {1}{2}}+h)!}}\,;$

et, comme il est prouvé que

$({\tfrac {1}{2}})!=(0,5)!=({\tfrac {1}{2}}){\sqrt {\varpi }}$

ces formules pourront être écrites comme il suit :

$\operatorname {Sin} .h\varpi ={\frac {h(1-h)}{h!(1-h)!}}\varpi ,\qquad \operatorname {Cos} .h\varpi ={\frac {({\tfrac {1}{2}}-h)({\tfrac {1}{2}}+h)}{({\tfrac {1}{2}}-h)!({\tfrac {1}{2}}+h)!}}\varpi .$

Ainsi, moyennant la table que nous venons de donner, on trouvera facilement, et jusqu’à dix décimales, le sinus, le cosinus et la tangente de tout angle proposé.

7. L’intégrale

$\int t^{m-1}e^{-t^{n}}\mathrm {d} t\,;$

prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty$ étant égale à

${\frac {1^{{\frac {m}{n}}|1}}{m}}={\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)!}{m}}\,;$

le logarithme de cette intégrale, pour toutes les valeurs de $m$ et de $n,$ se trouvera facilement par le moyen de la table.

8. L’intégrale

$\int y^{m-1}\left(1-y^{r}\right)^{n}\mathrm {d} y,$

prise depuis $y=0$ jusqu’à $y=1,$ étant égale à