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NUMÉRIQUES.

d’où

$\operatorname {Log} .a^{iq|r}\times a^{-iq|r}=2M,\qquad \operatorname {Log} .{\frac {a^{iq|r}}{a^{-iq|r}}}=2iN.$

12. Quelles que soient la base $a$ et la différence $r,$ la factorielle $a^{y|r},$ dans les deux cas de $r$ positif et de $r$ négatif, qui doivent toujours être soigneusement distingués, sera réductible à la faculté $1^{y|1},$ pour laquelle nous avons proposé la notation très-simple $y!,$ devenue nécessaire, par l’usage très-fréquent de ce genre particulier de fonctions, dans la plupart des opérations de haute analise. Nous avons observé, dans un premier mémoire, que le passage des factorielles aux facultés s’exécutait au moyen des deux formules

$a^{y|r}={\frac {\left({\frac {a}{r}}-1+y\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-1\right)!}}r^{y},\qquad a^{y|-r}={\frac {\left({\frac {a}{r}}\right)!}{\left({\frac {a}{r}}-y\right)!}}r^{y}.$

La supposition de $a=1,r=1$ donne aux formules précédemment calculées une très-grande simplicité. On a alors

$\operatorname {Log} .y!=-y+\left(y+{\tfrac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .(1+y)-\Gamma 1+\Gamma {\frac {1}{1+y}},$

formule qu’on peut rendre convergente à volonté, en y introduisant un nombre entier arbitraire $h,$ qu’il suffira de prendre de 4 à 6.

Il viendra ainsi

$\operatorname {Log} .y!=-h-y-\operatorname {Log} .(1+y)^{h|1}+\left(h+{\tfrac {1}{2}}+y\right)\operatorname {Log} .(1+h+y)-\Gamma 1+\Gamma {\frac {1}{1+h+y}}.$

Sur quoi on doit observer qu’il s’agit toujours ici de logarithmes naturels.

13. Si, dans cette supposition de $a=r=1,$ l’exposant $y$ prenait la forme du binôme imaginaire $p+iq,$ en posant alors

$k^{2}=(1+p)^{2}+q^{2},\qquad \operatorname {Tang} .\phi ={\frac {q}{1+p}}\,;$

$M=-p+\left(p+{\tfrac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .k-q\phi -\Gamma 1+B_{2}.{\frac {\operatorname {Cos} .\phi }{k}}+B_{4}{\frac {\operatorname {Cos} .3\phi }{3k^{3}}}+\ldots ,$

$N=-q+\left(p+{\tfrac {1}{2}}\right)\phi +q\operatorname {Log} .k-B_{2}.{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{k}}-B_{4}.{\frac {\operatorname {Sin} .3\phi }{3k^{3}}}-\ldots ,$

il viendrait