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FACULTÉS

$\scriptstyle \mathrm {D}$$\left(a^{y|r}\right)=a^{y|r}\left(\operatorname {Log} .t-\Lambda {\frac {r}{t}}\right).$^[1]

La seconde $\Gamma t,$ par laquelle nous représentons la série

$B_{2}t+{\tfrac {1}{3}}B_{4}t^{3}+{\tfrac {1}{5}}B_{6}t^{5}+{\tfrac {1}{7}}B_{8}t^{7}+\ldots ,$

est liée avec la première, par l’équation linéaire très-simple

$B_{1}t+t^{2}\scriptstyle \mathrm {D}$$\Gamma t=\Lambda t.$

Elle est essentielle pour trouver le logarithme naturel de la factorielle $a^{y|r}$ On a en effet,

$\operatorname {Log} .\left(a^{y|r}\right)=-y\left(1-\operatorname {Log} .a\right)+\left({\frac {t}{r}}-{\tfrac {1}{2}}\right)\operatorname {Log} .{\frac {t}{a}}-\Gamma {\frac {r}{a}}+\Gamma {\frac {r}{t}}.$

5. Le logarithme naturel de la factorielle $a^{y|r}$ que, pour abréger, nous représenterons simplement par $Y,$ est remarquable par la forme de ses dérivées successives. On a d’abord

$\scriptstyle \mathrm {D}$$\operatorname {Log} .Y=\operatorname {Log} .t-\Lambda {\frac {r}{t}}\,:$

sur quoi on peut remarquer que c’est l’expression de la somme de fractions

${\frac {r}{a}}+{\frac {r}{a+r}}+{\frac {r}{a+2r}}+\ldots +{\frac {r}{t-r}},$

augmentée de $\operatorname {Log} .a-\Lambda {\frac {r}{a}}.$ Si ensuite, pour abréger, on désigne simplement par $\Sigma {\frac {r^{n}}{t^{n}}}.$ la somme infinie de fractions

${\frac {r^{n}}{t^{n}}}+{\frac {r^{n}}{(t+r)^{n}}}+{\frac {r^{n}}{(t+2r)^{n}}}+{\frac {r^{n}}{(t+3r)^{n}}}+\ldots ,$

on aura ; en faisant toujours $a^{y|r}=Y,$

$\scriptstyle \mathrm {D} ^{2}$$\operatorname {Log} .X=+\Sigma {\frac {r^{2}}{t^{2}}},$

$\scriptstyle \mathrm {D} ^{3}$$\operatorname {Log} .Y=-2\Sigma {\frac {r^{3}}{t^{3}}},$

$\scriptstyle \mathrm {D} ^{4}$$\operatorname {Log} .Y=+6\Sigma {\frac {r^{4}}{t^{4}}},$

1. La lettre $\scriptstyle \mathrm {D}$ est employée ici comme signe de dérivation ; en sorte qu’en général
   $\scriptstyle \mathrm {D}$$\phi (x)={\frac {\mathrm {d} .\phi (x)}{\mathrm {d} x}}.$