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NUMÉRIQUES.

désigner les fonctions de la forme $1^{y|1}$ ou $y!$, auxquelles se réduisent les premières, dans le cas particulier où l’on a $a=1$ et $r=1.$

3. La factorielle $a^{m|r}$ ou $a(a+r)(a+2r)(a+3r)\ldots (a+mr-r)$ peut toujours être développée en une série de la forme

$a^{m}+Aa^{m-1}r+Ba^{m-2}r^{2}+\ldots +Mr^{m}.$

J’ai fait voir ailleurs^[1] que, dans le cas d’un exposant infiniment petit, les coefficiens $A,B,C,\ldots$ devenaient ces nombres même dont l’usage, dans le calcul sommatoire, a été remarqué par leur illustre inventeur Jacques Bernoulli. Mettant $\mathrm {d} m$ à la place de $m,$ et désignant par $-B_{1}\mathrm {d} m,-B_{2}\mathrm {d} m,$$-B_{3}\mathrm {d} m,\ldots$ les valeurs que reçoivent les coefficiens $A,B,C,\ldots$, dans le cas d’un exposant infiniment petit, on aura

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}&=B_{1},\\{\tfrac {1}{3}}&=B_{1}-2B_{2},\\{\tfrac {1}{4}}&=B_{1}-3B_{2}+3B_{3},\\{\tfrac {1}{5}}&=B_{1}-4B_{2}+6B_{3}-4B_{4},\\\end{aligned}}$

et en général

${\tfrac {1}{n+1}}=B_{1}-{\tfrac {n}{1}}B_{2}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}B_{3}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}B_{4}+\ldots \pm {\tfrac {n}{1}}B_{n}.$

En faisant le calcul de ces nombres, on verra que tous ceux d’un indice impair, tels que $B_{1},B_{3},B_{5},\ldots$ sont égaux à zéro, à l’exception du premier $B_{1}$ qui est ${\tfrac {1}{2}}\,;$ et que tous ceux d’un indice pair, savoir $B_{2},B_{4},B_{6},\ldots$ sont alternativement positifs et négatifs. Leurs valeurs sont

$B_{2}=+{\tfrac {1}{12}},\quad B_{4}=-{\tfrac {1}{120}},\quad B_{6}=+{\tfrac {1}{252}},\quad B_{8}=-{\tfrac {1}{240}},\ldots$

4. Les nombres de Bernoulli nous mènent naturellement aux deux fonctions que j’ai désignées par $\Lambda t$ et $\Gamma t.$ La première $\Lambda t,$ par laquelle nous exprimons la série

$B_{1}t+B_{2}t^{2}+B_{4}t^{4}+B_{6}t^{6}+\ldots ,$

sert à trouver la première dériver de la factorielle $a^{y|r},$ dans laquelle nous regardons l’exposant $y$ comme la variable de la fonction. En faisant, pour abréger, $a+ry=t,$ on a

1. Voyez Élémens d’arithmétique universelle, page 360, n.^os 557 et suivans.