Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/117

113

DU SECOND ORDRE.

que la somme des produits de ces quarrés deux à deux est

${\frac {D}{B}}.{\frac {D}{C}}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +{\frac {D}{C}}.{\frac {D}{A}}\operatorname {Sin} .^{2}\beta +{\frac {D}{A}}.{\frac {D}{B}}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \,;$

et qu’enfin le produit de ces mêmes quarrés ou le quarré du produit des demi-diamètres principaux est

${\frac {D}{A}}.{\frac {D}{B}}.{\frac {D}{C}}\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right).$

Donc, dans les surfaces du second ordre qui ont un centre, 1.^o La somme des quarrés de trois demi-diamètres conjugués quelconques, est égale à la somme des quarrés des trois demi-diamètres principaux ; 2.^o la somme des quarrés des aires des trois faces adjacentes à l’un des angles trièdres du parallèlipipède construit sur les grandeurs et directions de trois demi-diamètres conjugués quelconques, est égale à la somme des quarrés des aires des trois faces adjacentes à l’un des angles trièdres du parallèlipipède rectangle construit sur les grandeurs et directions des trois demi-diamètres principaux ; 3.^o enfin, le parallèlipipède construit sur les grandeurs et directions de trois demi-diamètres conjugués quelconques, est équivalent au parallèlipipède rectangle construit sur les grandeurs et directions des trois demi-diamètres principaux.

Ainsi, en dénotant, pour plus de simplicité, par $a,b,c,$ les trois demi-diamètres principaux, et par $a',b',c',$ trois demi-diamètres conjugués quelconques, on aura les trois équations

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2},$

$b'^{2}c'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +c'^{2}a'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta +a'^{2}b'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma =b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2},$

$a'^{2}b'^{2}c'^{2}\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)=a^{2}b^{2}c^{2}\,;$

sur quoi il faut remarquer que quelques-unes des lignes $a,a',b,b',c,c'$ peuvent être imaginaires, et qu’alors leurs quarrés sont négatifs.