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LIGNES ET SURFACES

$\left(ABC+2A'B'C'-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}\right)r^{6}$

$-D\left(BC+CA+AB-A'^{2}-B'^{2}-C'^{2}\right)r^{4}$

$+D^{2}\left(A+B+C\right)r^{2}-D^{2}=0\,;$

$p=r^{2}.{\tfrac {A'C'r^{2}-B'\left(Br^{2}-D\right)}{\left(Ar^{2}-D\right)\left(Br^{2}-D\right)-C'^{2}r^{4}}},\qquad q=r^{2}.{\tfrac {B'C'r^{2}-A'\left(Ar^{2}-D\right)}{\left(Ar^{2}-D\right)\left(Br^{2}-D\right)-C'^{2}r^{4}}}\,;$

résultats qui, aux notations près, coïncident parfaitement avec ceux qui ont été donnés par M. Bret^[1].

Supposons présentement que les axes des coordonnées soient trois diamètres conjugués ; alors on devra avoir

$A'=0,\qquad B'=0,\qquad C'=0\,;$

en sorte que l’équation (1) deviendra

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}=D\,;$

les quarrés des demi-diamètres conjugués seront donc respectivement

${\frac {D}{A}},\qquad {\frac {D}{B}},\qquad {\frac {D}{C}}\,;$

et l’équation (4) deviendra

$ABCr^{6}-(BC+CA+AB)^{4}$

$+D^{2}\left(A\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +B\operatorname {Sin} .^{2}\beta +C\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \right)r^{2}$

$-D^{3}\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)=0,$

ou

$r^{6}-\left\{{\frac {D}{A}}+{\frac {D}{B}}+{\frac {D}{C}}\right\}r^{4}$

$+\left\{{\frac {D}{B}}.{\frac {D}{C}}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +{\frac {D}{C}}.{\frac {D}{A}}\operatorname {Sin} .^{2}\beta +{\frac {D}{A}}.{\frac {D}{B}}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \right\}r^{2}$

$-{\frac {D}{A}}.{\frac {D}{B}}.{\frac {D}{C}}\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)=0\,;$

d’où l’on voit, par la théorie des équations, que la somme des quarrés des demi-diamètres principaux est

${\frac {D}{A}}+{\frac {D}{B}}+{\frac {D}{C}}\,;$

1. Voyez les pages 33 et 144 du 2.^e volume des Annales.