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LIGNES ET SURFACES

$\left.{\begin{aligned}\left(Ar^{2}-D\right)p^{2}&+\left(Br^{2}-D\right)q^{2}+2\left(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)pq\\+2\left(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta \right)p&+2\left(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha \right)q+\left(Cr^{2}-D\right)=0\,;\\\end{aligned}}\right.(3)$

différentiant cette équation, par rapport à $p$ et $q$ seulement, puisque, par l’hypothèse, $dr=0$ ; et égalant séparément à zéro les multiplicateurs de $\mathrm {d} p$ et $\mathrm {d} q,$ il viendra

$\left(Ar^{2}-D\right)p+\left(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)q+\left(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta \right)=0,$

$\left(Br^{2}-D\right)q+\left(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)p+\left(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha \right)=0\,;$

ce qui donne

$p={\frac {\left(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha \right)\left(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)-\left(Br^{2}-D\right)\left(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta \right)}{\left(Ar^{2}-D\right)\left(Br^{2}-D\right)-\left(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)^{2}}},$

$q={\frac {\left(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)\left(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)-\left(Ar^{2}-D\right)\left(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha \right)}{\left(Ar^{2}-D\right)\left(Br^{2}-D\right)-\left(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)^{2}}}\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation (3), elle deviendra

$\left(Ar^{2}-D\right)\left(Br^{2}-D\right)\left(Cr^{2}-D\right)+2\left(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha \right)\left(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta \right)\left(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)$

$-\left(Ar^{2}-D\right)\left(A'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\alpha \right)^{2}-\left(Br^{2}-D\right)\left(B'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\beta \right)^{2}-\left(Cr^{2}-D\right)\left(C'r^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)^{2}=0,$

ou, en développant et ordonnant,

$\left.{\begin{aligned}&\left(ABC+2A'B'C'-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}\right)r^{6}\\\\-D&\left\{{\begin{aligned}&\left(BC-A'^{2}\right)+2\left(B'C'-AA'\right)\operatorname {Cos} .\alpha \\+&\left(CA-B'^{2}\right)+2\left(C'A'-BB'\right)\operatorname {Cos} .\beta \\+&\left(AB-C'^{2}\right)+2\left(A'B'-CC'\right)\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}r^{4}\\\\+D^{2}&\left\{{\begin{aligned}&A\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2A'\left(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)\\+&B\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2B'\left(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \right)\\+&C\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2C'\left(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \right)\\\end{aligned}}\right\}r^{2}\\\\\end{aligned}}\right.(4)$

$-D^{3}\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)=0.$

Les six racines de cette équation, lesquelles seront, deux à deux, égales et de signes contraires, seront les distances du centre de la surface courbe à ses six sommets, ou, ce qui revient au même, ses six demi-diamètres principaux. Les trois valeurs de $r^{2},$ substituées dans celles de $p$ et $q,$ donneront, pour ces inconnues, trois systèmes de valeurs $p',q',p'',q'',p''',q''',$ et alors les directions des