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DU SECOND ORDRE.

et, par la théorie des équations, $D.{\frac {A+B}{AB}}$ est la somme des quarrés des deux demi-diamètres principaux, et $D.{\frac {D^{2}}{AB}}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma$ est le produit des quarrés de ces diamètres.

Donc, dans les lignes du second ordre qui ont un centre, 1.^o La somme des quarrés de deux demi-diamètres conjugués quelconques est égale à la somme des quarrés des deux demi-diamètres principaux ; 2.^o Le parallélogramme construit sur les grandeurs et directions de deux demi-diamètres conjugués quelconques est équivalant au rectangle construit sur les grandeurs et directions des deux demi-diamètres principaux.

§. II

Soit

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy=D,\qquad (1)$

l’équation d’une surface du second ordre, rapportée à son centre et à trois axes dont les directions soient telles qu’on ait

$\operatorname {Ang} .(y,z)=\alpha ,\qquad \operatorname {Ang} .(z,x)=\beta ,\qquad \operatorname {Ang} .(x,y)=\gamma .$

En désignant par $r$ la distance d’un point quelconque de cette surface à son centre, on aura

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz\operatorname {Cos} .\alpha +2zx\operatorname {Cos} .\beta +2xy\operatorname {Cos} .\gamma =r^{2}.\qquad (2)$

Et la propriété qui caractérise les six sommets de la surface courbe est que, pour chacun d’eux, $r$ doit être un maximum ou un minimum.

Supposons donc que $x,y,z$ soient les coordonnées de l’un de ces sommets, auquel cas $r$ sera la moitié de l’un des diamètres principaux. Soient posés

$x=pz,\qquad y=qz\,;$

les équations (1) et (2) deviendront

$\left(Ap^{2}+Bq^{2}+C+2A'q+2B'p+2C'pq\right)z^{2}=D,$

$\left(p^{2}+q^{2}+1+2q\operatorname {Cos} .\alpha +2p\operatorname {Cos} .\beta +2pq\operatorname {Cos} .\gamma \right)z^{2}=r^{2},$

d’où, on conclura, par, élimination de $z^{2},$