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RÉSOLUES.

En introduisant les demi-angles, au lieu des angles même, on transforme facilement cette fonction en celle-ci

${\tfrac {1}{4}}\left\{\left[{\tfrac {c^{2}}{\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta }}+{\tfrac {c'^{2}}{\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta '}}+{\tfrac {c''^{2}}{\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta ''}}+\right]-\left[c^{2}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta +c'^{2}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta '+c''^{2}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta ''\right]\right\}$

or, pour que cette quantité soit un maximum, il faut évidemment que

${\frac {c^{2}}{\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta }}+{\frac {c'^{2}}{\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta '}}+{\frac {c''^{2}}{\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta ''}},$

soit un maximum, et qu’en outre

$c^{2}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta +c'^{2}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta '+c''^{2}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta '',$

soit un minimum.

Ces deux conditions se trouveront, à la fois, satisfaites, d’après ce qui précède, si, $c^{2},c'^{2},c''^{2}$ allant en croissant, $\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta ,\ \operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta ',$$\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\beta ''$ vont au contraire en décroissant ; ou, plus simplement, $c,c',c''$ allant en croissant, $\beta ,\beta ',\beta ''$ vont en décroissant. Ce serait le contraire si la fonction proposée devait être un minimum.

La question que nous venons de traiter est celle dont s’est occupé M. Bidone à la page 380 du deuxième volume de ce recueil. On voit que l’application des principes développés ci-dessus en fournit une solution à la fois directe et élégante.