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QUESTIONS

donné le point dont la somme des distances à ces sommets est la plus petite.

Et, comme la somme des distances aux trois côtés d’un triangle équilatéral d’un point quelconque pris dans son intérieur, est égale à la hauteur de ce triangle, il en faut conclure que la hauteur du plus grand triangle équilatèral qu’il soit possible de circonscrire à un triangle donné, est égale à la somme des droites menées aux sommets de ce triangle du point dont la somme des distances à ces sommets est la plus petite.

M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales au lycée d’Angers, ancien élève de l’école polytechnique, a traité ces deux problèmes par l’analise et d’une manière tout à fait différente de celle qui vient d’être expliquée. Il a d’abord soin d’observer que, par triangle circonscrit à un triangle donné, il faut entendre un triangle dont les côtés, prolongés s’il le faut, passent par les sommets du triangle donné : et que, par triangle inscrit à un triangle donné, il faut entendre un triangle dont les sommets sont sur les côtés ou sur les prolongemens des côtés du triangle donné. Il se propose ensuite ces deux problèmes :

1.^o Connaissant les coordonnées des sommets d’un triangle $\mathrm {T}$, déterminer l’expression de la surface $\mathrm {S}$ d’un triangle circonscrit à celui-là et semblable à un triangle donné $t$ ?

2.^o Connaissant les coordonnées des sommets d’un triangle $\mathrm {T}$, déterminer l’expression de la surface $\mathrm {S} '$ d’un triangle inscrit à celui-là et semblable à un triangle donné $t$ ?

Ces problèmes étant l’un et l’autre indéterminés, les expressions trouvées par M. Pilatte pour $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$, sont fonctions d’une certaine arbitraire et qui est la tangente tabulaire de l’angle que fait l’un des côtés du triangle cherché avec l’axe des $x$ ; ainsi les triangles $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ peuvent être assujettis à une nouvelle condition choisie comme on voudra.

Supposant donc 1.^o que les triangles $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ doivent être à la fois égaux et semblables au triangle $t$, $\alpha$ se trouve donné pour l’un et l’autre par des équations du second degré, et les deux problèmes proposés à la page 318 du 1.^er volume des Annales se trouvent ainsi résolus.