Solution du II.e problème. Soit (fig. 7) un triangle donné, auquel il faille inscrire un triangle semblable à un autre triangle donné , et qui soit le plus petit possible.
Au triangle soit circonscrit (problème I.) un triangle , semblable au triangle , et le plus grand possible ; soient coupés les côtés du triangle en , de la même manière que le sont ceux du triangle en ; formant enfin le triangle , ce sera le triangle demandé.
Ce qui précède suppose tacitement que l’on a indiqué, à l’avance, à quels côtés du triangle donné d’espèce seulement, doivent être homologues ceux des côtés du triangle à circonscrire qui doivent passer par chacun des sommets du triangle donné à la fois d’espèce et de grandeur ; ou à quels angles du triangle donné d’espèce seulement, doivent être homologues ceux des angles du triangle à inscrire dont les sommets doivent être sur chacun des côtés du triangle donné à la fois d’espèce et de grandeur. S’il n’en était pas ainsi, il est clair que chacun des deux problèmes pourrait, en général, admettre six solutions ; et qu’ainsi il y aurait lieu à un maximum maximorum ou à un minimun minimorum. M. Rochat à qui l’on doit cette remarque, a calculé les expressions de l’un des côtés du triangle cherché qui répondent à ces six solutions ; mais il n’a pas eu le loisir de les discuter.
Ces six solutions se réduisent à une seule lorsque le triangle à construire est équilatéral. M. Vecten observe à ce sujet que, si, dans ce cas on mène du point (fig. 6) des droites aux points , ces droites, respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle , feront, autour du point , des angles égaux entre eux et au tiers de quatre angles droits, d’où il suit qu’alors le point sera celui dont la somme des distances aux sommets , du triangle donné, est la plus petite.
Ainsi, le plus grand triangle équilatéral qu’il soit possible de circonscrire à un triangle donné est celui dont les côtés sont perpendiculaires aux droites qui joignent aux sommets de ce triangle
