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FORMULES

Ainsi, en supposant $B<1,$ et c’est le cas des applications trigonométriques, on obtiendra l’angle auxiliaire $\beta$ par l’équation (2) ; l’équation (3) donnera ensuite l’angle auxiliaire $\gamma$, et on obtiendra enfin les deux valeurs de $\alpha$ par les formules (4), (5) ; ce qui est exactement conforme aux résultats obtenus par Goudin.

II.

M. Gauss a donné, sans démonstration^[1], les formules trigonométriques que voici : $a,b,c,$ étant les trois côtés d’un triangle sphérique, et $A,B,C,$ les angles respectivement opposés, on a

${\begin{array}{lr}\mathrm {I} .&{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A-B)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}},\\\mathrm {II} .&{\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(a+b)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}c}}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A-B)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C}},\\\mathrm {III} .&{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a-b)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c}}={\frac {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(A+B)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}C}},\\\mathrm {IV} .&{\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(a+b)}{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}c}}={\frac {\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(A+B)}{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}C}}.\\\end{array}}$^[2]

Il m’a paru que ces formules pouvaient être assez facilement démontrées comme il suit.

Les équations fondamentales de la trigonométrie sphérique sont, comme l’on sait,

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .A=\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c,&\quad \operatorname {Sin} .B\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .a=\operatorname {Cos} .A+\operatorname {Cos} .B\operatorname {Cos} .C,\\\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .B=\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .c,&\quad \operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b=\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C,\\\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b,&\quad \operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .B\operatorname {Cos} .c=\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B.\\\end{aligned}}$

1. Voyez Théoria motus corporum cœlestium ; Hambourg, 1809, page, 51.
2. Ces formules ont aussi été données par M. Delambre, dans la Connaissance des temps pour 1809, page 445.
   (Note des éditeurs.)