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DU TRIANGLE SPHÉRIQUE.

donc aussi, $\operatorname {Cos} .\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '={\tfrac {\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '-\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}{2\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '}},$

ou$\qquad \operatorname {Cos} .\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '={\tfrac {\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '-\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} .\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}~;$

donc enfin

$1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {BB} '={\tfrac {1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}.$

§. 6.

Le moment du triangle sphérique $\mathrm {ABB} '$, exprimé d’une manière symétrique dans les côtés $\mathrm {AB,AB',}$ et rapporté au plan tangent en $\mathrm {A}$, est donc

$2r^{3}.\operatorname {Arc} \left\{\operatorname {Tang} .={\tfrac {\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Sin} .\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}\right\}-{\tfrac {1}{2}}r^{2}.\mathrm {BB} '.\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Sin} .\mathrm {B} .$

Que le produit continuel des sinus de la demi-somme des trois côtés du triangle sphérique et des sinus des excès de cette demi-somme sur chacun d’eux, soit désigné par $\mathrm {P}$ ; on aura $\operatorname {Sin} .\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .\mathrm {AB} .\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '=2{\sqrt {\mathrm {P} }}~;$ que de plus l’arc $\mathrm {BB} '$ soit exprimé dans le rayon pris pour unité ; le moment du triangle $\mathrm {BAB} '$, relativement au plan tangent en \mathrm{A}, sera

$2r^{3}.\operatorname {Arc} \left\{\operatorname {Tang} .={\tfrac {2{\sqrt {\mathrm {P} }}}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}\right\}-r^{3}.{\sqrt {\mathrm {P} }}.{\tfrac {\mathrm {BB} '}{\operatorname {Sin} .\mathrm {BB} '}}.$

Soit $r^{2}\mathrm {S}$ la surface du triangle sphérique, rapportée à l’octant pris pour unité de surface ; et partant, soit $\mathrm {S=B+B'+A-2}$ droits ; on aura

$\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {S} ={\tfrac {2{\sqrt {\mathrm {P} }}}{1+\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} +\operatorname {Cos} .\mathrm {AB} '+\operatorname {Cos} .\mathrm {BB} '}}$

(Voyez la Géométrie de Legendre.)

Donc le moment du triangle, relativement au plan tangent en $\mathrm {A}$, sera