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DU TRIANGLE SPHÉRIQUE.

$\qquad \qquad \qquad \mathrm {XAX':M} mm'\mathrm {M} '=r:\mathrm {P} p~;$

donc$\qquad \qquad$Hémis. $\,:\mathrm {M} mm'\mathrm {M} '=2\varpi r^{2}:\mathrm {P} p.\mathrm {XX} '.$

Mais$\qquad \qquad$Hémis.$=2\varpi r^{2}~;$

donc$\qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {M} mm'\mathrm {M} '=\mathrm {P} p.\mathrm {XX} '$

La limite du moment de l’espace $\mathrm {M} mm'\mathrm {M} ',$ relativement au plan tangent en $\mathrm {A}$ est $\mathrm {P} p.\mathrm {XX} '.\mathrm {AP} ,$ et partant, le moment de l’espace $\mathrm {MAM} '$ est ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {AP} ^{2}.\mathrm {XX} '={\tfrac {1}{2}}\mathrm {XX} '.4r^{2}\operatorname {Sin} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AM} =2r^{2}.\mathrm {XX} '.\operatorname {Sin} ^{4}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AM} .$

Or, l’espace $\mathrm {MAM} '$ a pour expression $\mathrm {XX'.AP} =$$2r.\mathrm {XX'} .\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AM} ;$ donc la distance du centre des moyennes distances de l’espace $\mathrm {MAM} '$ au plan tangent en$\mathrm {A}$, est ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {AP} =r\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AM} .$

Remarque. Il est facile de ramener aux simples élémens cette proposition particulière.

§. 4.

Soit un triangle sphérique dont un des côtés est constant, et dont un des angles, ayant pour sommet une des extrémités de ce côté, est aussi constant. On demande le moment de ce triangle relativement au plan tangent à la sphère mené par l’autre extrémité de ce côté.

Soit $\mathrm {ABB} '$ (fig.2) un triangle sphérique dont le côté $\mathrm {AB}$ est constant, ainsi que l’angle $\mathrm {B}$. On demande le moment de ce triangle relativement au plan tangent à la sphère mené par l’extrémité $\mathrm {A}$ de ce côté ?

Soit décomposé le triangle proposé en espaces sphériques $\mathrm {MAM} '$ ayant en $\mathrm {A}$ leur sommet commun. Que les arcs $\mathrm {AM,AM'}$ rencontrent, en $\mathrm {X,X'}$, le grand cercle dont $\mathrm {A}$ est le pôle. Soit aussi $\mathrm {M} m'$ un arc

de petit cercle dont $\mathrm {A}$ est le pôle, et terminé en $m'$ à l’arc $\mathrm {AM} '.$

Le moment de l’espace $\mathrm {MA} m'$ ou $\mathrm {MAM} '$, relativement au plan proposé, est (§. 3.) $2r^{2}\mathrm {XX} '.\operatorname {Sin} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AM} =2r^{2}.\operatorname {Sin} .^{4}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {AM} .{\frac {\mathrm {M} m'}{\operatorname {Sin} .\mathrm {AM} }}=$