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PLAN DE.
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\operatorname {Cos} .\alpha ^{(n-1)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {X} &+\operatorname {Cos} .\beta ^{(n-1)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {Y} &+\operatorname {Cos} .\gamma ^{(n-1)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ,\\\operatorname {Cos} .\alpha ^{(n)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {X} &+\operatorname {Cos} .\beta ^{(n)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {Y} &+\operatorname {Cos} .\gamma ^{(n)}\cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {Z} .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fd14a2f65a1b65fd352f364e44733dadf63229)
La somme des projections des figures proposées sur ce dernier plan
sera donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\{\mathrm {F} \operatorname {Cos} .\alpha +\mathrm {F} '\operatorname {Cos} .\alpha '+\mathrm {F} ''\operatorname {Cos} .\alpha ''+\ldots +\mathrm {F} ^{(n-1)}\operatorname {Cos} .\alpha ^{(n-1)}+\mathrm {F} ^{(n)}\operatorname {Cos} .\alpha ^{(n)}\right\}\operatorname {Cos} .\mathrm {X} ,\\+&\left\{\mathrm {F} \operatorname {Cos} .\beta +\mathrm {F} '\operatorname {Cos} .\beta '+\mathrm {F} ''\operatorname {Cos} .\beta ''+\ldots +\mathrm {F} ^{(n-1)}\operatorname {Cos} .\beta ^{(n-1)}+\mathrm {F} ^{(n)}\operatorname {Cos} .\beta ^{(n)}\right\}\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} ,\\+&\left\{\mathrm {F} \operatorname {Cos} .\gamma +\mathrm {F} '\operatorname {Cos} .\gamma '+\mathrm {F} ''\operatorname {Cos} .\gamma ''+\ldots +\mathrm {F} ^{(n-1)}\operatorname {Cos} .\gamma ^{(n-1)}+\mathrm {F} ^{(n)}\operatorname {Cos} .\gamma ^{(n)}\right\}\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9279b18bcd073c2b78d8713d4f028cb6713437ae)
Or, la somme
est une quantité constante ; donc la somme des projections des figures proposées est la plus
grande, lorsque les quantités variables
sont
entre elles respectivement comme leurs coefficiens.
Or, les coefficiens de
sont respectivement
les sommes des projections des figures proposées sur les trois plans
coordonnés. Pour abréger, que ces sommes soient désignées par
![{\displaystyle \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2578b35e3ae3e0e518079c02792c208ac1aa2d52)
les quantités inconnues ![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {X} ,\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0765fbc44478c1c6e3c146a965252b67958672)
sont entre elles respectivement comme les quantités
connues
De là on obtient
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {X} ={\frac {\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha }{\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9942a69084282dbe0f7eb8ac7b3d6e5a1fad2c)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {Y} ={\frac {\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta }{\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93065e53fed1b80951930bb1895add1bc601caf)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {Z} ={\frac {\int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }{\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0562e4167b4a0053d4929288812a6c4b2b234673)
La plus grande somme de projections cherchée est
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {X} \cdot \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\mathrm {Y} \cdot \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Cos} .\mathrm {Z} \cdot \int .\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c184b6849fa0e86b86a16c952885cb4d35fdd5b5)
![{\displaystyle ={\frac {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }{\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b33dc50689dcfcb0140b312903aecc0418e8eb5)
![{\displaystyle ={\sqrt {\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\alpha +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\beta +\int .^{2}\mathrm {F} .\operatorname {Cos} .\gamma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1b67bb1877646bff2d1e6152c259af49e22b3c)
Savoir : le quarré de la plus grande somme de projections des