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PLUS GRANDE PROJECTION.
Que la somme
soit égale au rectangle de la droite
par une droite
dont on doit déterminer le maximum. On obtient
; donc
Dans le triangle
, le rapport des côtés
et
se trouvant ainsi connu, ce triangle est donné d’espèce ; et, en particulier, l’angle en
est connu, et la droite
est parallèle à une droite donnée de position. De là, la plus grande valeur de
a lieu lorsque la droite
est tangente au cercle dont
est le centre et dont
est le rayon. Dans le cas du maximum,
savoir, les droites
et
sont entre elles directement comme les droites
et
qui leur correspondent.
Puisque
on a
d’où
et
![{\displaystyle n\times \mathrm {CZ=CY} \times {\sqrt {mm+nn}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f8f37c8643fd3a0a1e2de9401b9fbc79f85198)
Remarque. Ce résultat d’un procédé purement élémentaire, s’accorde avec celui du calcul différentiel.
En effet, soient
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}xx+yy&=aa\\mx+ny&=maxim.\\\end{aligned}}\right\}{\text{on aura }}\left\{{\begin{aligned}x+y{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}&=0\\m+n{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}&=0\\\end{aligned}}\right\}{\text{ d’où }}x:y=m:n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d32ee968a5d31723c65b295ada860aa9b65da1)
En général, soient deux quantités variables dont la somme des quarrés est donnée. La somme de leurs produits par des quantités données est la plus grande, lorsque ces premières quantités sont entre elles comme les dernières quantités qui leur correspondent[1].
- ↑ Ce théorème peut encore être démontré d’une manière assez simple et assez élégante en procédant comme il suit :
Soit proposé de déterminer deux inconnues
et
au moyen des deux équations
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad mx+ny=\mathrm {K} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78767543deda67de590155f01270c636d3548f3f)
la première pourra être considérée comme appartenant à un cercle ayant son centre