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PLUS GRANDE PROJECTION.

Que la somme $m\times \mathrm {XY} +n\times \mathrm {CX}$ soit égale au rectangle de la droite $n$ par une droite $\mathrm {CZ}$ dont on doit déterminer le maximum. On obtient $m\times \mathrm {XY} =n\times \mathrm {XZ}$ ; donc $\mathrm {XY:XZ} =n:m.$ Dans le triangle $\mathrm {XYZ}$, le rapport des côtés $\mathrm {XY}$ et $\mathrm {XZ}$ se trouvant ainsi connu, ce triangle est donné d’espèce ; et, en particulier, l’angle en $\mathrm {Z}$ est connu, et la droite $\mathrm {ZY}$ est parallèle à une droite donnée de position. De là, la plus grande valeur de $\mathrm {CZ}$ a lieu lorsque la droite $\mathrm {ZY}$ est tangente au cercle dont $\mathrm {C}$ est le centre et dont $\mathrm {CY}$ est le rayon. Dans le cas du maximum, $\mathrm {ZX:XY=XY:CX=m:n~;}$ savoir, les droites $\mathrm {XY}$ et $\mathrm {CX}$ sont entre elles directement comme les droites $m$ et $n$ qui leur correspondent.

Puisque $\mathrm {XY:CX} =m:n,$ on a $\mathrm {CY} ^{2}:\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {XY} ^{2}\\&\mathrm {CX} ^{2}\\\end{aligned}}\right.=mm+nn:\left\{{\begin{aligned}&mm\\&nn\\\end{aligned}}\right.;$ d’où $\mathrm {XY=CY} \times {\tfrac {m}{\sqrt {mm+nn}}};\mathrm {CX=CY} \times {\tfrac {n}{\sqrt {mm+nn}}};\mathrm {CZ=CY} \times {\tfrac {\sqrt {mm+nn}}{n}};$

et $n\times \mathrm {CZ=CY} \times {\sqrt {mm+nn}}.$

Remarque. Ce résultat d’un procédé purement élémentaire, s’accorde avec celui du calcul différentiel.

En effet, soient

$\left.{\begin{aligned}xx+yy&=aa\\mx+ny&=maxim.\\\end{aligned}}\right\}{\text{on aura }}\left\{{\begin{aligned}x+y{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}&=0\\m+n{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}&=0\\\end{aligned}}\right\}{\text{ d’où }}x:y=m:n$

En général, soient deux quantités variables dont la somme des quarrés est donnée. La somme de leurs produits par des quantités données est la plus grande, lorsque ces premières quantités sont entre elles comme les dernières quantités qui leur correspondent^[1].

1. Ce théorème peut encore être démontré d’une manière assez simple et assez élégante en procédant comme il suit :

   Soit proposé de déterminer deux inconnues $x$ et $y$ au moyen des deux équations

   $x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad mx+ny=\mathrm {K} ~;$

   la première pourra être considérée comme appartenant à un cercle ayant son centre