48
ÉLIMINATION AU PREMIER DEGRÉ.
La méthode d’Euler, fondée également sur la considération d’un commun diviseur, peut aussi s’appliquer au premier degré ; nous n’en donnerons qu’un seul exemple.
la somme de leurs produits par les indéterminées
et
sera
si l’on veut que
disparaisse, il faudra poser
![{\displaystyle mb+m'b'=0{\text{ d’où }}m'=-{\frac {mb}{b'}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f465378e0f757c713f090943abaa0150fbbd10)
posant donc, pour plus de simplicité
on aura
ainsi, on fera disparaître
de ces équations, en prenant la somme de leurs produits par
et
on trouverait de même que, pour en faire disparaître
, il faut prendre la somme de leurs produits par
et
, on obtient ainsi
Soient ensuite les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\ \ x+b\ \ y+c\ \ z+d\ \ &=0,\\a'\,x+b'\,y+c'\,z+d'\,&=0,\\a''x+b''y+c''z+d''&=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecec1fe0967230da0f9e563880136bd88526242)
la somme de leurs produits respectifs par
sera
![{\displaystyle (ma+m'a'+m''a'')x+(mb+m'b'+m''b'')y+(mc+m'c'+m''c'')z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853ae2f1f05153a3930393f95bc2ac52139df815)
![{\displaystyle +(md+m'd'+m''d'')=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ff38b2ef4d9a4e2da8d02bf8eb51666ce2a547)
Si l’on veut que
et
disparaissent, il faudra poser
![{\displaystyle mb+m'b'+m''b''=0,\qquad mc+m'c'+m''c''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b45c875b055ff4bfffa1ad118efa3229e56de5e)
d’où on tirera, par ce qui a été dit ci-dessus,
![{\displaystyle m'=-{\frac {bc''-cb''}{b'c''-c'b''}}m,\qquad m''=-{\frac {cb'-bc'}{b'c''-c'b''}}m~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a707614b5fe9d992449034e4011f5931a3a5df6)
posant donc, pour plus de simplicité,
il viendra
Ainsi, on fera disparaître, à la fois,
et
de ces trois équations, en prenant la somme de leurs produits respectifs par
![{\displaystyle \pm (b'c''-c'b''),\quad \pm (b''c-c''b),\quad \pm (bc'-cb').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361d66ef9c10ef275042da3d4b5128dc2f3ee103)
On en ferait disparaître
et
, en prenant la somme de leurs produits par
![{\displaystyle \pm (c'a''-a'c''),\quad \pm (c''a-a''c),\quad \pm (ca'-ac').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed841cc227966edfe7b14fef67df8b64b2d390fc)
et on les délivrerait enfin de
et
, en prenant la somme de leurs produits par
![{\displaystyle \pm (a'b''-b'a''),\quad \pm (a''b-b''a),\quad \pm (ab'-ba').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31abf56b9c83b1a40be2a36c81825712d71790a4)
Il est facile d’étendre ces considérations à un plus grand nombre d’équations renfermant un égal nombre d’inconnues
(Notes des éditeurs.)