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ÉLIMINATION

l’équivalence des équations en $y$ et $z$ qu’on obtiendrait en égalant à zéro les quotiens de la division de deux quelconques d’entre elles par la troisième.

Si enfin le problème était plus qu’indéterminé, c’est-à-dire, si les trois équations prises deux à deux ne différaient que par un multiplicateur commun à tous les termes de l’une d’elles, dans ce cas le reste de la division serait identiquement nul, quelles que fussent les deux équations sur lesquelles on l’opérerait.

12. Si la division de deux des équations du problème l’une par l’autre donnait pour reste une quantité toute connue, l’impossibilité d’égaler ce reste à zéro, annoncerait qu’il ne peut exister de commun diviseur entre ces équations qui par conséquent, ne sauraient avoir lieu en même temps ; le problème serait donc alors impossible.

Soient par exemple les deux équations évidemment incompatibles

$ax+by-c=0,\qquad max+mby-nc=0~;$

en égalant à zéro le reste de la division de la seconde par la première, on aura :

$(m-n)c=0,$

condition absurde, tant que $m$ est différent de $n$, et $c$ différent de zéro.

Si l’on écrivait le reste, sans y opérer de réductions, on aurait

$(m-m)by+(m-n)c=0,\qquad {\text{ d’où }}y=-{\frac {(m-n)c}{0}}~;$

symbole de l’infini, qui peut seul lever l’absurdité exprimée par le système des deux équations proposées^[1].

1. L’impossibilité des problèmes à plus de deux inconnues présente plusieurs cas qu’il peut être utile de faire remarquer aux commençans.

   Supposons que l’on ait seulement trois équations entre trois inconnues ; il pourra d’abord arriver que, de quelque manière qu’on prenne ces équations deux à deux, elles soient également incompatibles ; ce qui revient, en géométrie, à chercher le point commun à trois plans parallèles.

   Il peut ensuite arriver que, l’une d’elles pouvant avoir lieu avec chacune des deux autres, prises séparément, ces dernières soient incompatibles entre elles, ce qui