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DES SURFACES DU 2.d DEGRÉ.
![{\displaystyle A'B'^{2}=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int P^{2}P'(\operatorname {Cos} .^{2}\gamma .\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta '+2\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .\gamma .\operatorname {Cos} .\alpha .\operatorname {Cos} .\gamma '.\operatorname {Cos} .\alpha ')\\+&K'''PP'P''~;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09135a6d763d8d8a59ecf6e091c958c85bf8be2)
![{\displaystyle A''B''^{2}=\left\{{\begin{aligned}&\int P^{3}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ,\\+&\int P^{2}P'(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .\operatorname {Cos} .^{2}\beta .\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '+2\operatorname {Cos} .^{2}\gamma .\operatorname {Cos} .\alpha .\operatorname {Cos} .\beta .\operatorname {Cos} .\alpha '.\operatorname {Cos} .\beta ')\\+&K''''PP'P''.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c81e1013896a4e032a6ead36c4af98b76379d02)
Avec un peu d’attention, on conclura facilement de ces trois dernières équations et des deux précédentes.
![{\displaystyle \mathrm {(E)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adcdbdeb7b0245e8cf877a6f2cd1ced679e19b2)
Pour obtenir la valeur de
, j’observe qu’étant simplement une fonction de cosinus, sa valeur est indépendante de celles que l’on peut attribuer aux coefficiens
; ainsi posons
![{\displaystyle A=1,\quad A'=1,\quad A''=1,\quad B=0,\quad B'=0,\quad B''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d729a599da796cc0949eae5af21651287e18af)
Les équations
, deviennent les équations
, lorsque
donc l’équation
sera vraie, dans la même hypothèse, et comme elle se réduit à
on en conclut que
![{\displaystyle PP'P''=AA'A''+2BB'B''-AB^{2}-A'B'^{2}-A''B''^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e7abf1e53e0afc0708dcf55f48702bdb0256dd)
partant l’équation du troisième degré qui a pour racines
sera
![{\displaystyle t^{3}-(A+A'+A'')t^{2}+(A'A''+A''A+AA'-B^{2}-B'^{2}-B''^{2})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5246f97cec9bb166d1a61c0d01aa4d173ba457)
![{\displaystyle +AB^{2}+A'B'^{2}+A''B''^{2}-2BB'B''-AA'A''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5665485c339ee00a3fdc8039c6b64a3233bddbd6)