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AXES PRINCIPAUX

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\beta \ \ &+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \,\ =1,\\\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '+\operatorname {Cos} .^{2}\beta '\,&+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '\,=1,\\\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ''+\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''&+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''=1~;\\\operatorname {Cos} .\alpha \,\ \cdot \operatorname {Cos} .\alpha '\ +\operatorname {Cos} .\beta \ \cdot \operatorname {Cos} .\beta '\,&+\operatorname {Cos} .\gamma \,\ \cdot \operatorname {Cos} .\gamma '\ =0,\\\operatorname {Cos} .\alpha '\,\cdot \operatorname {Cos} .\alpha ''+\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\beta ''&+\operatorname {Cos} .\gamma '\,\cdot \operatorname {Cos} .\gamma ''=0,\\\operatorname {Cos} .\alpha ''\cdot \operatorname {Cos} .\alpha \ +\operatorname {Cos} .\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .\beta \,\ &+\operatorname {Cos} .\gamma ''\cdot \operatorname {Cos} .\gamma \ \ =0~;\end{aligned}}\right\}\mathrm {(A)}$

lesquelles peuvent, comme l’on sait, être remplacées par les suivantes

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '&+\operatorname {Cos} .^{2}\alpha ''=1,\\\operatorname {Cos} .^{2}\beta +\operatorname {Cos} .^{2}\beta '&+\operatorname {Cos} .^{2}\beta ''=1,\\\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '&+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma ''=1~;\\\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Cos} .\alpha '\cdot \operatorname {Cos} .\beta '&+\operatorname {Cos} .\alpha ''\cdot \operatorname {Cos} .\beta ''=0,\\\operatorname {Cos} .\beta \cdot \operatorname {Cos} .\gamma +\operatorname {Cos} .\beta '\cdot \operatorname {Cos} .\gamma '&+\operatorname {Cos} .\beta ''\cdot \operatorname {Cos} .\gamma ''=0,\\\operatorname {Cos} .\gamma \cdot \operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Cos} .\gamma '\cdot \operatorname {Cos} .\alpha '&+\operatorname {Cos} .\gamma ''\cdot \operatorname {Cos} .\alpha ''=0.\end{aligned}}\right\}\mathrm {(B)}$

Nous aurons, en faisant disparaître de la nouvelle équation les rectangles $x'y',y'z',z'x',$ ce qui est toujours possible^[1], l’équation

$Px'^{2}+P'y'^{2}+P''z'^{2}=H.$

Nous allons maintenant chercher l’équation du troisième degré qui a pour racines $P,P',P''.$

On trouve cette équation, de la manière la plus simple, en passant de l’équation

$Px'^{2}+P'y'^{2}+P''z'^{2}=H\qquad$(I)

à celle-ci

$Ax^{2}+A'y^{2}+A''z^{2}+2Byz+2B'zx+2B''xy=H.\qquad$(II)

1. Voyez l’Application de l’algèbre à la géométrie de MM. Monge et Hachette ; voyez aussi la Géométrie analitique de M. Biot.
   (Note des éditeurs.)