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QUESTIONS

or, lorsque $\mathrm {A}$ a $x$ jetons, $\mathrm {B}$ en a $p+q-x$ ; désignant donc par $y$ le nombre de jetons de $\mathrm {B}$ lorsque $\mathrm {A}$ en a $x$, on pourra écrire

$Z_{x}={\frac {m^{y}\left(m^{x}-n^{x}\right)}{m^{p+q}-n^{p+q}}}.$

Si l’on désigne par $Z_{y}$ l’espérance correspondante de $\mathrm {B,}$ on aura pareillement

$Z_{y}={\frac {n^{x}\left(m^{y}-n^{y}\right)}{m^{p+q}-n^{p+q}}}.$

Telles sont donc les espérances respectives de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B,}$ lorsque le premier a $x$ jetons et le second $y$ ; si donc on désigne simplement par $X$ et $Y$ leurs espérances respectives lorsque le premier a $p$ jetons et le second $q,$ ainsi que la question le suppose, on aura

$X={\frac {m^{q}\left(m^{p}-n^{p}\right)}{m^{p+q}-n^{p+q}}},\qquad Y={\frac {n^{p}\left(m^{q}-n^{q}\right)}{m^{p+q}-n^{p+q}}}.$

Dans le cas particulier où l’on a $n=m,$ ces valeurs semblent devenir ${\tfrac {0}{0}};$ mais, si on les réduit d’abord à leur plus simple expression, on a pour ce cas

$X={\frac {p}{p+q}},\qquad Y={\frac {q}{p+q}}\,;$

comme on pouvait bien le prévoir.

Les résultats auxquels nous venons de parvenir servent à résoudre, non seulement la question proposée, mais encore les deux questions suivantes :

1.^o Quelles doivent être les adresses respectives des deux joueurs, pour qu'en leur distribuant un nombre de jetons donné d’une manière déterminée, leurs espérances respectives soient proportionnelles à des nombres donnés ?

2.^o Les adresses respectives des deux joueurs étant connues, de quelle manière faut-il répartir entre eux un nombre de jetons donné, pour que leurs espérances respectives soient proportionnelles à des nombres donnés ?