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RÉSOLUES.
ou encore
![{\displaystyle (m\alpha -n)(\alpha -1)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0196c82c3efb16189f3f281faf72a62274fe01ef)
ce qui donne pour
ces deux valeurs
![{\displaystyle \alpha =1,\qquad \alpha ={\frac {n}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf120144689470b55e8a9efa32fc30fb593b139)
d’où on conclura
![{\displaystyle \alpha ^{x}=1,\qquad \alpha ^{x}=\left({\frac {n}{m}}\right)^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3893386cc189df41c8370db0e1e97ba19528832)
et par conséquent
![{\displaystyle Z_{x}=G+H\left({\frac {n}{m}}\right)^{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f98a3c74547b0a7461df00e85b85eaeba4aa707)
et
étant des constantes arbitraires.
Pour déterminer ces constantes, nous remarquerons 1.o que, si
n’avait plus aucun jeton, son espérance serait absolument nulle,
puisque la partie se trouverait terminée au profit de
; 2.o
qu’au contraire s’il avait
jetons ; son espérance se trouverait changée
en certitude, puisque la partie se trouverait terminée à son profit.
On voit donc que
à
![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
doit répondre
![{\displaystyle Z_{x}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0eec9349dbc36f9d2d0aa16328ae24d1ccbe22)
à
![{\displaystyle x=p+q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7cb7a4805b9a6136bfd008e9e432090dc92ae4f)
doit répondre
![{\displaystyle Z_{x}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022554dae663ea5167a101df71eecc03b2bb1599)
ce qui donne les deux équations
![{\displaystyle 0=G+H,\qquad 1=G+H\left({\frac {n}{m}}\right)^{p+q}s\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0547daf0b90fd9d52041da8f960a18d28eeb8c70)
d’où
![{\displaystyle G={\frac {m^{p+q}}{m^{p+q}-n^{p+q}}},\qquad H=-{\frac {m^{p+q}}{m^{p+q}-n^{p+q}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a2a7649af3068dd16b730d4d1212b6db264e00)
substituant donc dans la valeur de
elle deviendra
![{\displaystyle Z_{x}={\frac {m^{x}-n^{x}}{m^{p+q}-n^{p+q}}}\cdot m^{p+q-x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb42b5bcd6a9455f351e1f9c5ece2005098e0d7)