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QUESTIONS

Troisième solution ;

Par M. Tédenat, correspondant de la première classe de
l’Institut, recteur de l’académie de Nismes.

Soient $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ les deux joueurs, $m$ et $n$ leurs adresses respectives, $p$ et $q$ le nombre des jetons qu’ils ont chacun.

Soient, dans un état quelconque du jeu, $x$ le nombre des jetons de $\mathrm {A}$ et $Zx$ son espérance ; au coup suivant, cette espérance deviendra $Z_{x+1}$ ou $Z_{x-1}$ ; or, la probabilité qu’elle deviendra $Z_{x+1}$ est ${\frac {m}{m+n}},$ et la probabilité qu’elle deviendra $Z_{x-1}$ est ${\frac {n}{m+n}}.$ On aura donc, en vertu d’un principe connu^[1],

$Z_{x}={\frac {m}{m+n}}Z_{x+1}+{\frac {n}{m+n}}Z_{x-1},$

ou

$mZ_{x+1}-(m+n)Z_{x}+nZ_{x-1}=0\,;$

équation linéaire du second ordre, aux différences finies, entre les deux variables $x$ et $Z.$

Pour l’intégrer, nous ferons usage de la méthode donnée par M. Lagrange, dans les Mémoires de l’académie de Berlin, pour 1775^[2].

Posant donc

$\qquad Z_{x}=\alpha ^{x},\quad$d’où$\quad Z_{x+1}=\alpha ^{x+1},\quad Z_{x-1}=\alpha ^{x-1}\,;$

il viendra, en substituant, et divisant par $\alpha ^{x-1}\,;$

$m\alpha ^{2}-(m+n)\alpha +n=0,$

1. Voyez ci-dessus page 341.
2. Voyez aussi le Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix, deuxième édition, pages 575 et suivantes.
   (Note des éditeurs.)