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DU SECOND ORDRE.

Rejetant cette hypothèse et retranchant l’équation $\mathrm {(P')}$ de l’équation $\mathrm {(P)}$ il vient

$\left\{2a(y-y')+b(x-x')\right\}(x-x')=\left\{2c(x-x')+b(y-y')\right\}(y-y')\,;$

mais, en désignant par $\alpha$ l’angle que fait la corde que nous considérons ici avec l’axe des $x$, on a

$\operatorname {Tang} .\alpha ={\frac {y-y'}{x-x'}},{\text{ d’où }}y-y'=(x-x')\operatorname {Tang} .\alpha ,$

substituant donc, il viendra, en réduisant, transposant et divisant par $x-x'$

$\operatorname {Tang} .^{2}\alpha -2.{\frac {a-c}{b}}\operatorname {Tang} .\alpha -1=0.\qquad \mathrm {(K)}$

Ainsi, dans les lignes du deuxième ordre, les cordes dont la variation est nulle, n’affectent que deux directions, et les tangentes des angles qu’elles forment avec l’axe des $x$ se trouvent déterminées par l’équation précédente. On voit de plus que ces directions sont perpendiculaires l’une à l’autre, puisque le produit des deux tangentes est égal à $-1.$

En ajoutant, au contraire, l’une à l’autre les équations $\mathrm {(P)}$, $\mathrm {(P')}$, substituant pour $y-y',$ dans l’équation résultante, sa valeur $(x-x')\operatorname {Tang} .\alpha$ et divisant par $x-x'$, il vient

$(2a-b\operatorname {Tang} .\alpha )(y+y')-(2c\operatorname {Tang} .\alpha -b)(x+x')+2(d-e\operatorname {Tang} .\alpha )=0.\quad \mathrm {(G)}$

D’un autre côté, en retranchant l’équation $\mathrm {(M')}$ de l’équation $\mathrm {(M)}$, le double de l’équation résultante peut être mis sous cette forme

$\left.{\begin{aligned}&\left[2a(y+y')+b(x+x')+2d\right](y-y')\\+&\left[2c(x+x')+b(y+y')+2e\right](x-x')\\\end{aligned}}\right\}=0\,;$

ou, en chassant encore $y-y'$ et divisant par $x-x'$,

$(2a\operatorname {Tang} .\alpha +b)(y+y')+(2c+b\operatorname {Tang} .\alpha )(x+x')+2(d\operatorname {Tang} .\alpha +e)=0.\quad \mathrm {(H)}$

Les équations $\mathrm {(G)}$ et $\mathrm {(H)}$ donnent

${\tfrac {1}{2}}(x+x')={\frac {2ae-bd}{b^{2}-4ac}},\quad {\tfrac {1}{2}}(y+y')={\frac {2cd-ae}{b^{2}-4ac}}\,;$

ainsi, les cordes des lignes du second ordre dont la variation est