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RÉSOLUES.

angles $\mathrm {C'O'A',C'O'B',}$ et tirant $\mathrm {OC,OA,OB~;}$ en portant ces longueurs sur $\mathrm {OC',O'A',O'B',}$ de $\mathrm {O'}$ en $\mathrm {C',A',B',}$ et tirant $\mathrm {A'B',B'C',C'A',}$ le triangle $\mathrm {A'B'C'}$ résoudra le problème. Ce problème a deux solutions ; car, en prolongeant $\mathrm {A'O',B'O',C'O',}$ au-delà du point $\mathrm {O'}$ des quantités $\mathrm {O'A'',O'B'',O'C'',}$ qui leur soient respectivement égales, et menant $\mathrm {A''B'',B''C'',C''A'',}$ le triangle $\mathrm {A''B''C''}$ sera aussi égal au triangle $\mathrm {ABC,}$ et aura ses sommets sur les droites $\mathrm {O'A',O'B',O'C'.}$

2.^o Il peut arriver (fig. 11) que deux $aa',bb'$ des droites données soient parallèles, la troisième $\mathrm {C'C''}$ les coupant respectivement en $\alpha$ et $\beta ~;$ alors, l’angle égal à $\mathrm {C}$ dans le triangle cherché étant celui dont le sommet doit être sur $\mathrm {C'C'',}$ il faudra sur $\mathrm {CA,CB,}$ pris pour cordes, décrire des arcs respectivement capables des angles $\beta \alpha a'$ et $\alpha \beta b'$ menant ensuite par $\mathrm {C}$ (Lemme) deux droites dont les parties $\alpha '\beta ',\alpha ''\beta ''$ interceptées entre les deux arcs, soient égales à $\alpha \beta ,$ et tirant $\alpha '\mathrm {A} ,\alpha ''\mathrm {A} ,\beta '\mathrm {B} ,\beta ''\mathrm {B} ,$ les deux dernières droites se trouveront d’elles-mêmes, respectivement parallèles aux deux premières ; coupant donc $\alpha \beta$ en $\mathrm {C',C''}$ de la même manière que $\alpha '\beta '$ et $\alpha ''\beta ''$ le sont en $\mathrm {C}$ ; et faisant de plus $\alpha \mathrm {A} ',\alpha \mathrm {A} '',\beta \mathrm {B} ',\beta \mathrm {B} '',$ respectivement égales à $\alpha '\mathrm {A} ,\alpha ''\mathrm {A} ,\beta '\mathrm {B} ,\beta ''\mathrm {B} ,$ et tirant $\mathrm {A'B',B'C',C'A',A''B'',B''C'',C''A'',}$ les triangles $\mathrm {A'B'C'} ,$$\mathrm {A''B''C'',}$ seront deux solutions du problème. Au moyen de ces deux solutions on en obtiendra facilement deux autres, en imaginant que l’on fasse tourner les triangles $\mathrm {C'A'B',C''A''B''}$ autour de deux perpendiculaires à $aa',bb',$ l’une passant par $\mathrm {C'}$ et l’autre par $\mathrm {C''~;}$ les deux nouveaux triangles seront $\mathrm {C'A'''B'''}$ et $\mathrm {C''A''''B''''.}$

3.^o Il peut enfin arriver que les trois droites données $aa',bb',cc',$ (fig. 12) soient parallèles, et alors il est facile de comprendre que le triangle donné ne saurait être quelconque, et que, s’il est tel qu’il rende le problème possible, ce problème sera indéterminé. Si en effet le triangle $\mathrm {A'B'C'}$ satisfait aux conditions du problème, en faisant glisser deux de ses sommets, suivant les parallèles sur lesquelles ils se trouveront situés, le troisième ne quittera pas la troisième de ces parallèles, et conséquemment le triangle satisfera toujours aux conditions du problème.