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DISCUSSION DES LIGNES
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}a&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\-b&\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \\+c&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y''^{2}+2a\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\-2c\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\+b&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\-b&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x''y''+a&\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \\+b\operatorname {Sin} .\alpha &\operatorname {Cos} .\alpha \\+c&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha \\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x''^{2}+d'&\operatorname {Cos} .\alpha \\-e'&\operatorname {Sin} .\alpha \\&\\&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y''+d'&\operatorname {Sin} .\alpha \\+e'&\operatorname {Cos} .\alpha \\&\\&\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}&x''+f'=0\,;\\&\\&\\&\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc2a113a897eb841666a92c897d0148054d0731)
équation dans laquelle on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}d'=&2an+bm+d,\\e'=&2cm+bn+c,\\\end{aligned}}\quad f'=an^{2}+bmn+cn^{2}+dn+em+f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e57acea779a5e0f95225229ceb0413576d712da)
Posons présentement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&b(\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Sin} .^{2}\alpha )+2(\alpha -c)\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha =0,\\&a\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Sin} .^{2}\alpha =M,\\&a\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +b\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Cos} .^{2}\alpha =N\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b5a8f97e64e34b061cc26944131ecb317564a7)
nous trouverons (Voyez Biot ou Garnier)
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {b}{a-c}},{\begin{aligned}M=&{\tfrac {1}{2}}\left\{(a+c)+{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right\},\\N=&{\tfrac {1}{2}}\left\{(a+c)-{\sqrt {b^{2}+(a-c)^{2}}}\right\},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e00088bf05979da69dcdfb6dd7e8efd4fbc3693)
et la transformée sera
(2)
Soit, en premier lieu
positif ou négatif, différent de zéro ; en posant
![{\displaystyle d'\operatorname {Cos} .\alpha -e'\operatorname {Sin} .\alpha =0,\quad d'\operatorname {Sin} .\alpha +e'\operatorname {Cos} .\alpha =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf935d2d059ab5b81f4955464c2f15ce08653ef)
il viendra (Voyez les Auteurs cités)
![{\displaystyle a={\frac {2ae-bd}{b^{2}-4ac}},\quad b={\frac {2cd-be}{b^{2}-4ac}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e2080f3bc4b80cfd54003503e311deea8c7eac)
et la transformée sera simplement
![{\displaystyle My''^{2}+Nx''^{2}+f'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b6cba9e3fb2ae09d9578279ca9ef296ef845af)
Si nous désignons respectivement par
et
dans cette équation, les valeurs de
et
qui répondent à
et
nous aurons