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DIFFÉRENTIATION
on en pourra conclure ces deux-ci
Démonstration. Si l’équation
n’était point identique, ce serait une équation différentielle en vertu de laquelle se trouverait, contrairement à l’hypothèse, une certaine fonction de ; on a donc nécessairement et ; donc, etc.
LEMME II. et étant deux fonctions composées de la même manière, la première en et la seconde en variables indépendantes : si l’on a on en pourra conclure constante.
Démonstration. D’après l’hypothèse, la fonction doit devenir la fonction si l’on y met au lieu de ; mais, à cause de , la fonction ne doit pas changer de valeur, par l’effet de cette substitution ; donc, puisque indépendant de , peut représenter des valeurs quelconques de , la fonction est tellement constituée, qu’elle conserve la même valeur, quelle que soit d’ailleurs la variation de ; propriété qui caractérise les constantes ; donc, etc.
Cela posé, soit 1.o à différentier ?
Soient et deux variables absolument indépendantes ; on aura
(1)
Désignons la différentielle inconnue de par ; nous aurons, en différentiant l’équation, (1)
d’où nous tirerons, par le Lemme 1,
ce qui donne, par l’élimination de \varphi(xy) et la suppression des facteurs communs,
ou